Enunciado

Um fluido incompressível om densidade ρ está em um tubo de teste horizontal com área da seção reta interna A. O tubo de teste gira com velocidade angular ω em uma ultracentrifugadora. As forças gravitacionais são desprezíveis. Considere um elemento de volume do fluido de área A e espessura dr’ situado a uma distancia r’ do eixo de rotação. A pressão na superfície interna é P e a pressão na superfície externa é P + d p . a) Aplique a segunda lei de Newton ao elemento do volume para mostrar que ρ ω 2 r ' d r ' . b) Se a superfície do fluido está em um raio r 0 onde a pressão é P 0 mostre que a pressão p a uma distancia r ≥ r 0 é dada por P = P 0 + ρ ω 2   ( r 2 - r 0 2 ) / 2 . c) Um objeto de volume V e a densidade ρ o b j possui o centro de massa a uma distância

Passo 1

Siga o procedimento especificado na parte (a) e integre esse resultado à parte (b).

Uma partícula rotativa a uma distância r   ' do eixo de rotação tem aceleração interna ω 2 r   ' .

Passo 2

  1. A força interna líquida é
  2. ( p + d p ) A - p A = A d p ,

    e a massa do elemento fluido é   ρ A d r   ' .

    Usando a segunda lei de Newton, com a aceleração radial interna de ω 2 r   ' , isso nos dá que

    d p = ρ ω 2 r   '   d r   '

    Passo 3

  3. Integrando a expressão acima
  4. ∫ p 0 p d p = ∫ r 0 r ρ ω 2 r ' d r '

    E

    p - p 0 = ρ ω 2 2 r 2 - r 0 2 ,

    Que é o resultado desejado.

    Passo 4

  5. A força resultante no objeto deve ser a mesma que em um elemento fluido da mesma forma. Um elemento tão fluido está acelerando para dentro com uma aceleração de magnitude
  6. ω 2 R c m

    e assim a força no objeto é

    ρ V ω 2 R c m

    Passo 5

  7. Se ρ R c m > ρ o b R c m o b , a força interna é maior que a necessária para manter o objeto em movimento em um círculo com raio R c m o b na frequência angular ω , e o objeto se move para dentro. Se ρ R c m < ρ o b R c m o b , a força resultante é insuficiente para manter o objeto em movimento circular naquele raio, e o objeto se move para fora.
  8. Passo 6

  9. Objetos com densidades mais baixas tenderão a se mover em direção ao centro, e objetos com densidades mais altas tenderão a afaste-se do centro.

A pressão no fluido aumenta à medida que a distância r do eixo de rotação aumenta.

Resposta

  1. d p = ρ ω 2 r d ' r
  2. p - p 0 = ρ ω 2 2 r 2 - r 0 2
  3. ρ V ω 2 R c m
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