Enunciado

Uma mulher está em pé em repouso em frente a uma parede grande e lisa, ela segura um diapasão que vibra com frequência f 0 , diretamente à sua frente (entre ela e a parede). a) A seguir a mulher corre em direção à parede com velocidade v m . Ela detecta batimentos provocados pela interferência entre as ondas sonoras que ela ouve diretamente do diapasão e as ondas sonoras refletidas pela parede. quantos batimentos por segundo a mulher detecta? (Nota: quando a frequência dos batimentos é muito grande, a mulher deve usar algum instrumento além dos ouvidos para detectar e contar os batimentos.) b) Se, em vez de se aproximar, ela se afastar da parede, mantendo o diapasão às suas costas, entre ela e a parede, quantos batimentos por segundo ela mede?

Passo 1

a) Ao correr em direção a parede, ocorrerá efeito Doppler sobre a frequência do diapasão, vamos usar a equação do efeito Doppler:

f P = f 0 v + v P v + v m

Onde m significa mulher, que é a fonte nesse caso, e P parede.

Como a mulher corre em direção a parede v m será negativo, e como a parede está parada v P = 0 . A equação fica:

f P = f 0 v v - v F

Depois que as ondas batem e refletem na parede, elas irão retornar na mulher e ela ouvirá o som com uma frequência maior. A equação do efeito Doppler para esse caso vai ser:

f L = v + v L v f P

A parede atua como uma fonte agora, como ela está parada, zeramos o termo no denominador. O termo no numerador será positivo porque a mulher se aproxima da parede e a frequência ouvida deve ser maior que a frequência refletida pela parede.

Passo 2

Substituindo a primeira equação na segunda:

f L = v + v L v v v - v m f 0

Simplificando:

f L = v + v L v - v m f 0

Como a velocidade da mulher é a mesma em toda a situação:

v m = v L

Então:

f L = v + v m v - v m f 0

Essa será a frequência ouvida pela mulher depois de ser emitida pelo diapasão e refletida na parede. Os batimentos serão a diferença entre as duas frequências:

f b a t = f L - f 0

Substituindo f L :

f b a t = v + v m v - v m f 0 - f 0

Tirando MMC e fator comum:

f b a t = 2 v F v - v F f 0

Passo 3

b) para o caso da mulher se afastando, só os sinais que vão mudar na primeira e na segunda equação, porque a frequência recebida pela parede deve ser menor do que a frequência emitida. E a frequência ouvida pela mulher deve ser menor que a refletida:

f P = v v + v m f 0

f L = v - v L v f P

E substituindo uma na outra, e considerando v L = v m :

f L = v - v m v v v + v m f 0

Simplificando:

f L = v - v m v + v m f 0

E usando a equação de batimentos, dessa vez com a diferença trocada, porque a frequência final é menor que a inicial:

f b a t = f 0 - f L

Substituindo f L :

f b a t = f 0 - v - v m v + v m f 0

Reescrevendo:

f b a t = 2 v m v + v m f 0

Resposta

a   f b a t = 2 v F v - v F f 0

b   f b a t = 2 v m v + v m f 0

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