Enunciado

Um foguete de massa M se move ao longo de um eixo x com uma velocidade constante v i = 40   m / s . Uma pequena explosão separa o foguete em uma seção traseira (de massa m 1 ) e uma seção dianteira; as duas seções se movem ao longo do eixo x . A velocidade relativa entre as seções é de 20   m / s . Determine (a) o menor valor possível da velocidade final v f da seção dianteira e (b) para que o valor limite de m 1 ela acontece. Determine (c) o maior valor possível de v f e (d) para que valor limite de m 1 ele acontece.

Passo 1

Vamos aplicar a conservação de momento linear. Inicilamente tínhamos uma massa M se movendo com velocidade v i , então:

p 0 = M v i

Mais tarde, tínhamos uma massa M - m 1 se movendo com velocidade v f :

p A = M - m 1 v f

E uma massa m i se movendo com velocidade v f - 20 :

p B = m 1 v f - 20

Então:

p 0 = p A + p B

M v i = M - m 1 v f + m 1 v f - 20

Passo 2

Agora vamos encontrar uma expressão para v f :

M v i = M - m 1 v f + m 1 v f - 20

M v i = M v f - m 1 v f + m 1 v f - 20 m 1

M v i = M v f - 20 m 1

Então:

v f = M v i + 20 m 1 M = v i + 20 m 1 M

Substituindo v i = 40   m / s , temos:

v f = 40 + 20 m 1 M

Passo 3

(a) O menor valor possível de v f acontece quando M é muito maior do que m 1 , nesse caso:

M ≫ m 1           ⇒           m 1 M → 0

Nesse caso:

v f = 40 + 20 m 1 M ≅ 40   m / s

(b) Como vimos, esse valor acontece quando m 1 se aproxima de zero.

Passo 4

(c) Agora queremos achar o valor máximo de v f :

v f = 40 + 20 m 1 M

Nesse caso, a única restrição é que m 1 é a massa de uma parte que foi “retirada” de M , então nunca podemos ter m 1 > M .

Isso quer dizer que aquela razão do lado direito da equação pode ser no máximo igual a 1 :

v f = 40 + 20 1 = 60   m / s

(d) E isso acontece quando m ! = M .

Resposta

(a) O menor valor possível é v f = 20   m / s .

(b) O menor valor possível acontece quando m 1 se aproxima de zero.

(c) O maior valor possível é v f = 60   m / s .

(d) O maior valor possível acontece quando m 1 = M .

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