Enunciado

Um foguete de teste de 2540   k g é lançado verticalmente da plataforma de lançamento. Seu combustível (de massa desprezível) provê uma força propulsora tal que sua velocidade vertical em função do tempo é dada por v t = A t + B t 2 , onde A   e   B são constantes e o tempo é medido a partir do instante em que o combustível entra em combustão. No instante da ignição, o foguete possui uma aceleração de baixo para cima de 1,50   m / s 2 ; 1,0 s depois, a velocidade de baixo para cima é de 2,0   m / s .

a) Determine A   e   B , incluindo suas unidades S I .

b) No instante de 4,0   s após a ignição, qual é a aceleração do foguete e

c) qual força propulsora o combustível em combustão exerce sobre ele, supondo que não haja resistência do ar? Expresse a propulsão em newtons e como múltiplo do peso do foguete.

d) Qual é a propulsão inicial em função do combustível?

Passo 1

Temos as seguintes condições iniciais:

a 0 = 1,5 m / s 2

v 1 = 2 m / s

Lembrando que a aceleração é a derivada temporal da velocidade e, como temos a expressão para v ( t ) basta derivar e determinamos a aceleração:

a t = d d t A t + B t 2 = A + 2 B t

E em t = 0 temos que a 0 = 1,5 . Aplicando essa condição temos:

A + 2 B . 0 = 1,5

A = 1,5 m / s 2

Certo! Agora que sabemos uma constante, vamos usar a outra condição para determinar a outra! Usando a expressão da velocidade temos:

v t = 1,5 t + B t 2

E em t = 1 temos que v 1 = 2 assim tiramos o valor de B :

2 = 1,5.1 + B . 1 2

B = 2 - 1,5 = 0,5 m / s 3

Resumindo: A = 1,5 m / s 2 e B = 0,5 m / s 3 e a expressão para a velocidade e aceleração ficam:

v t = 1,5 t + 0,5 t 2

a t = 1,5 + t

Passo 2

Após 4 s a aceleração vai ser a ( 4 ) :

a 4 = 1,5 + 4 = 5,5 m / s 2

Passo 3

A força propulsora F vai ser dada pela segunda lei:

F - m g = m a

F = m a + g = 2540 5,5 + 9,8 = 3,89 × 10 4 N

Ou como múltiplo de seu peso P temos:

F m g = 2,87 × 10 4 2540.9,8 = 1,56

F = 1,56 P

Passo 4

No instante inicial temos a = 1,5 m / s 2 assim a força F fica:

F = m a + g = 2540 1,5 + 9,8 = 2,87 × 10 4 N

Resposta

a )   A = 1,5 m / s 2 e B = 0,5 m / s 3

b )   a 4 = 5,5 m / s 2

c )   F = 3,89 × 10 4 N = 1,56 P

d )   F = 2,87 × 10 4 N

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