Enunciado

Uma formiga de massa m está tranquilamente em repouso sobre uma corda esticada horizontalmente. A corda possui densidade linear μ e tensão F . Sem avisar, Tobias produz uma onda senoidal transversal com um comprimento de onda λ que se propaga na corda. O movimento da corda está contido em um plano vertical. Qual é a amplitude mínima da onda que faz a formiga ficar repentinamente com um peso aparente igual a zero? Suponha que a massa m seja tão pequena que a presença da formiga não altere a propagação da onda.

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos começar?

Para termos um peso aparente igual a zero, a aceleração da formiga deve ser igual à aceleração da gravidade, certo?

Então a aceleração transversal máxima a m á x deve ser g .

Passo 2

Supondo uma onda senoidal, a equação para a posição transversal vai ser:

y x , t = A c o s ( k x - ω t )

A aceleração vai ser a segunda derivada da posição, então vamos derivar duas vezes consecutivas essa expressão:

∂ y ∂ t = v y = A ω s e n ( k x - ω t )

∂ 2 y ∂ t 2 = a y = - A ω 2 cos ⁡ k x - ω t

E a aceleração máxima vai ser quando:

a y = A ω 2

E sabemos que esse valor deve ser igual a g :

A ω 2 = g

E a amplitude mínima será:

A = g / ω 2

Passo 3

Temos a amplitude, agora só nos resta colocar a frequência angular em termos de F ,   m ,   L e λ .

A frequência angular pode ser dada em termos do comprimento da frequência f :

ω = 2 π f

E a frequência está relacionada com a velocidade de propagação e o comprimento de onda:

v = λ f

f = v λ

Então ω fica:

ω = 2 π v λ

Passo 4

Mas e a velocidade? Bom, essa está relacionada com a tensão no fio (que é F ) e a densidade linear de massa μ . Então a velocidade de propagação é:

v = F μ

Certo?

Então conseguimos colocar a frequência angular em termos das quantidades conhecidas:

ω = 2 π v λ = 2 π λ F μ

Passo 5

E agora podemos substituir na expressão para a amplitude em termos das quantidades que conhecemos:

A = g / ω 2

A = g 2 π λ F μ   2 = g λ 2 μ 4 π 2 F

A = g λ 2 μ 4 π 2 F

Resposta

A = g λ 2 μ 4 π 2 F

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