Enunciado

Um fóton de energia inicial 1,0 x   10 5 eV que se move no sendo positivo do eixo x incidente sobre um elétron livre em repouso. O fóton é espalhado de um ângulo de 90°, indo no sentido positivo do eixo y. Ache as componentes do momento do elétron.

Passo 1

Informações do problema: energia inicial do fóton 1,0 x   10 5 eV; Espalhado a um ângulo de 90°.

Vamos analisar a colisão- Conservação de momento:

p i - f o t . + p i - e = p f - f o t . + p f - e

p i - f o t . + 0 = p f - f o t . + p f - e

Como podemos observar com a imagem ilustrativa da colisão, o momento após da colisão o momento do fóton e do elétron têm direções distintas:

p i - f o t .   u ^ 0 = p f - f o t .   u ^ 1 + p f - e   u ^ 2

Para encontrar as componentes do momento do elétron, é necessário fazer uma análise em cada eixo.

Passo 2

Analisando no eixo x (eixo horizontal), nesse eixo, a componente do momento final do fóton é nula, pois se encontra na direção u ^ 1 .

p i - f o t .   = p f - e x

p f - e ( x ) =   E i - f o t . c

Passo 3

Analisando no eixo y (eixo vertical), nesse eixo o momento inicial do é nulo, pois ele está na direção u ^ 0 .

0 = p f - f o t .   -   p f - e ( y )  

O sinal negativo do   p f - e ( y ) se deve ao fato de sua projeção está no sentido negativo do eixo. Sendo assim, temos:

p f - e ( y ) =   p f - f o t .  

p f - e ( y ) =   E f - f o t . c

Como não temos informações sobre a energia final do fóton, temos que escrevê-la em função da energia inicial do fóton.

Passo 4

E f - f o t . =   h υ ' =   h c λ '

Conhecemos a relação entre λ ' e λ , dada pelo exemplo 2.4 do livro.

λ ' =   λ + Δ λ

Então, temos a energia final do fóton:

E f - f o t . =   h υ ' =   h c λ ' =     h c λ + Δ λ

E f - f o t . =   h υ ' =   h c λ ' =     h c λ + [ ( h / m 0 c ) ( 1 -   c o s θ ) ]

O λ pode ser escrito em função da energia inicial do fóton, já que ele é o comprimento de onda do fóton incidente.

E i - f o t . =   h υ =   h c λ   →   λ =     h c E i - f o t .  

Substituindo na equação da E f - f o t . :

E f - f o t . =     h c   h c E i - f o t . + [ ( h / m 0 c ) ( 1 -   c o s θ ) ]

Colocando o h c em evidência o denominador, resultamos na equação:

E f - f o t . =     1   1 E i - f o t . + [ ( 1 / m 0 c 2 )   ( 1 -   c o s θ ) ]

Somando as frações do denominador (dentro das regras matemáticas), temos:

E f - f o t . =     1   m 0 c 2 +   E i - f o t .     ( 1 -   c o s θ ) E i - f o t .       m 0 c 2

E f - f o t . =   E i - f o t .       m 0 c 2 m 0 c 2 +   E i - f o t .     ( 1 -   c o s θ )

Como θ = 90 °   →   c o s   θ =   0

E f - f o t . =   E i - f o t .       m 0 c 2 m 0 c 2 +   E i - f o t .    

Resposta

Agora podemos expressar as componentes do momento do elétron, com informações conhecidas:

p f - e ( x ) =   E i - f o t . c

p f - e ( y ) =   E i - f o t .       m 0 c m 0 c 2 +   E i - f o t .    

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