Enunciado

Obtenha a relação entre energia cinética K de recuo dos elétrons e a energia E do fóton incidente no efeito Compton. Uma forma par essa relação é:

K E = 2 h υ m 0 c 2 s i n 2 θ 2 1 +   2 h υ m 0 c 2 s i n 2 θ 2

Sugestão, veja o exemplo 2.4

Passo 1

O exemplo 2.4 nos fornece a seguinte relação:

K E = Δ λ λ + Δ λ

O deslocamento Compton ( Δ λ ), é expresso, também no exemplo 4, pela seguinte equação:

Δ λ =   h m 0 c ( 1 - c o s θ )

Vamos substituir na equação K E .

K E = h m 0 c 2 ( 1 - c o s θ ) λ + h m 0 c ( 1 - c o s θ )

Passo 2

Na equação dada no exercício, K E não está em função de λ , então temos que usar uma relação, que faça com ele não apareça na equação. Sendo essa:

E f o t . =   h υ = h c λ

Podemos escrever λ em função da frequência do fóton incidente ( υ ):

K E = h m 0 c 1 - c o s θ h c h υ + h m 0 c 1 - c o s θ

= h m 0 c ( 1 - c o s θ ) c υ + h m 0 c ( 1 - c o s θ )  

Se colocarmos o c υ em evidência, tanto no numerador, quanto no denominador, teremos:

K E = c υ c υ h υ m 0 c 2 1 - c o s θ 1 + h υ m 0 c 2 1 - c o s θ

=   h υ m 0 c 2 ( 1 - c o s θ ) 1 + h υ m 0 c 2 ( 1 - c o s θ )

Passo 3

Estamos bem perto do resultado mostrado no exercício. Nesse passo, vamos utilizar uma relação trigonométrica, dada por:

s i n θ 2 = 1 - c o s θ 2

O que temos na equação do passo anterior é ( 1 - c o s θ ), então temos que isolar essa parte da relação trigonométrica, apresentada acima.

s i n 2 θ 2 = 1 - c o s θ 2 → 2 s i n 2 θ 2 = 1 - c o s θ  

Passo 4

Agora podemos substituir na equação do passo 2.

K E =   h υ m 0 c 2 2 s i n 2 θ 2 1 + h υ m 0 c 2 2 s i n 2 θ 2

E assim chegamos ao resultado que a questão pede:

K E = 2 h υ m 0 c 2 s i n 2 θ 2 1 + 2 h υ m 0 c 2 s i n 2 θ 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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