Enunciado

Um fóton de raios X é espalhado por um elétron (massa m ) em repouso. O comprimento de onda do fóton espalhado é λ ' e a velocidade final do elétron é igual a v . a) Qual era o comprimento de onda λ inicial do fóton? Expresse sua resposta em termos de λ ' , v e m . (Sugestão: use a expressão relativística para a energia cinética do elétron.) b) Através de qual ângulo ϕ o fóton é espalhado? Expresse sua resposta em termos de λ ,   K e m . c) Avalie seus resultados dos itens (a) e (b) para um comprimento de onda do fóton espalhado igual a 5,1 × 10 - 3   n m e para uma velocidade final do elétron igual a 1,8 × 10 6   m / s . Forneça ϕ em graus.

Passo 1

a) O fóton colide com o elétron e se espalha, ao acontecer isso, seu comprimento de onda muda de λ para λ ' . Pela conservação da energia, a gente tem:

E = E ' + K

Sendo que E é a energia do fóton antes dele atingir o elétron, E ' é a energia depois e K será a energia cinética do elétron depois da colisão.

Usando a equação de energia para o fóton:

E = h c / λ

Podemos escrever as energias antes e depois em termos do comprimento de onda:

h c λ = h c λ ' + K

Passo 2

A energia cinética deve ser relativística, pois o elétron pode sair com velocidade muito alta:

h c λ = h c λ ' + γ - 1 m c 2

Isolando λ :

λ = h c h c λ ' + γ - 1 m c 2

Como γ é:

γ = 1 1 - v 2 / c 2  

Nossa equação fica:

λ = h c h c λ ' + 1 1 - v 2 / c 2   - 1 m c 2

Passo 3

b) Vamos usar a equação de espalhamento Compton para o fóton:

∆ λ = h m c 1 - c o s ϕ

Isolar ϕ :

ϕ = arccos ⁡ 1 - ∆ λ h / m c

E substituir ∆ λ :

ϕ = arccos ⁡ 1 - λ ' - λ h / m c = arccos ⁡ 1 - h c / E ' - h c / E h / m c

ϕ = arccos ⁡ 1 - h c E - h c E - K h / m c = arccos ⁡ 1 + h c K E ( E - K ) h / m c

Substituindo E de novo:

ϕ = arccos ⁡ 1 + K λ m c h h c λ - K

Passo 4

c) Substituindo os valores dados de v e λ ' nas equações, vamos ficar com os seguintes resultados:

λ = 3,34 × 10 - 3   n m

ϕ = 74,0 °

Resposta

a )   λ = h c h c λ ' + 1 1 - v 2 / c 2   - 1 m c 2

b ) ϕ = arccos ⁡ 1 + K λ m c h h c λ - K

c ) ϕ = 74,0 °

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