Enunciado

A reação de fusão nuclear no centro do Sol produz fótons de raios gama com energia da ordem de 1   M e V ( 10 6   e V ) . Em contraste. O que vemos emanar da superfície do Sol são fótons de luz cujos comprimentos de onda são da ordem de 500   n m . Um modelo simples que explica esse comportamento é que os fótons sofrem muitos espalhamentos Compton sucessivos – na verdade, ocorrem 10 26 espalhamentos, como sugerido por alguns modelos do interior do Sol – à medida que os fótons se deslocam do centro até a superfície do Sol. a) Estime o aumento do comprimento de onda para um único evento médio de espalhamento Compton. b) Calcule o ângulo em graus em que o fóton é espalhado no evento de espalhamento descrito no item (a). (Sugestão: uma aproximação útil é c o s ϕ ≈ 1 - ϕ 2 / 2 , que vale para ϕ ≪ 1 . Note que nessa expressão ϕ é dado em radianos. c) Estima-se que um fóton leva cerca de 10 6 anos para se deslocar do centro até a superfície do Sol. Determine a distância média que a luz pode se deslocar no interior do Sol sem sofrer espalhamento. (Como sua resposta mostra, o interior do Sol é muito opaco.)

Passo 1

a) Depois de todos os espalhamentos Compton, os fótons que estão na superfície têm o comprimento de onda que o enunciado fala. Como temos a energia dos fótons antes dos espalhamentos, basta a gente calcular o comprimento com ela e depois fazer a diferença. A equação de energia do fóton é:

E = h c / λ

Isolando λ :

λ = h c E

Substituindo cada valor:

λ = 4,136 × 10 - 15   e V ⋅ s ( 2,998 × 10 8   m / s ) 1 × 10 6   e V

λ = 1 × 10 - 12   m

E agora a gente faz a diferença entre esse valor e o dado no enunciado, como o valor dado é o valor depois que o fóton está na superfície, ele será o valor final e o que encontramos, o inicial:

500 × 10 - 9   m - 1 × 10 - 12   m = 500 × 10 - 9   m

A diferença será praticamente o mesmo valor da energia inicial, agora dividimos o resultado pelo número de espalhamentos Compton, que é 10 26 :

∆ λ = 500 × 10 - 9   m 10 26 = 5 × 10 - 33   m

Esse vai ser o desvio no comprimento de onda.

Passo 2

b) Para sabermos o ângulo de espalhamento, a gente usa a equação:

∆ λ = h m c ( 1 - c o s ϕ )

E como o enunciado sugere, o ângulo será muito pequeno, porque ∆ λ é muito menor que a razão h m c , fazemos então a aproximação:

c o s ϕ ≈ 1 - ϕ 2 / 2

A equação fica:

∆ λ = h m c ϕ 2 2  

Isolando ϕ :

ϕ = 2 ∆ λ h / m c

Agora só substituir todos os valores e o ∆ λ que calculamos no passo anterior:

ϕ = 2 ( 5 × 10 - 33   m ) ( 2,426 × 10 - 12   m ) = 6,4 × 10 - 11   r a d

(Substituímos direto o valor de h m c = 2,426 × 10 - 12 , onde m é a massa do elétron).

Passo 3

c) A questão pede para encontrar o valor da distância que o fóton percorre entre dois espalhamentos e dá para a gente o tempo em anos que o fóton leva para sair do interior até a superfície do Sol. Vamos primeiro converter esse tempo para segundos:

10 6   a n o s 3,156 × 10 7 s / a n o = 3,2 × 10 13   s

Agora dividimos esse valor pelo numero de espalhamentos Compton que o fóton faz até a superfície:

t = 3,2 × 10 13   s 10 26

t = 3,2 × 10 - 13

E pela equação de deslocamento:

d = v t

Para o fóton, v = c :

d = c t

Substituindo os valores:

d = ( 3,0 × 10 8   m / s ) ( 3,2 × 10 - 13   s )

d = 0,1   m m

Resposta

a )   ∆ λ = 5 × 10 - 33   m

b )   ϕ = 6,4 × 10 - 11   r a d

c )   d = 0,1   m m

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