Enunciado

Frequentemente, correntes em bobinas supercondutoras são mantidas em estado permanente, em um circuito como mostra a Figura 26.20. O fio que compõe a bobina, além do que completa o circuito, permanece em estado supercondutor enquanto a temperatura for mantida abaixo de um dado valor T C , de modo que a corrente I 0 permanece constante no tempo. Isso pode gerar acidentes. Por falha no sistema de refrigeração, a temperatura pode ultrapassar T C e a bobina subitamente passará a ser condutor normal, sendo R a resistência do circuito. Nesse caso:

a) Escreva a equação diferencial para a corrente I .

b) Mostre por cálculo direto que o calor gerado no circuito por efeito Joule durante o período em que a corrente cai para zero é igual a L I 0 2 / 2 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo tranquilo?

Vamos entender um pouco o que está acontecendo. Para temperaturas baixas, o fio do circuito atua como um supercondutor, de modo que sua resistência é nula. Nessa situação, a tensão no indutor é nula, de modo que

L d I d t = 0

Isso faz com que a corrente seja constante no tempo. Quando a temperatura cresce um pouco, há uma transição de fase e o fio passa a se comportar como um condutor convencional, cuja resistência é R . Nesse cenário, a soma da tensão no resistor com a tensão no indutor deve ser nula:

L d I d t + R I = 0

Essa é a equação diferencial pedida no item (a). Considerando que para t = 0 , a corrente é I 0 , a solução dessa equação é

I t = I 0 e - t τ L ,

onde τ L = L / R .

Passo 2

A potência dissipada por efeito Joule é

P t = R I 2 = R I 0 2 e - 2 t τ L

Para calcular a energia dissipada na forma de calor, integramos essa potência no tempo:

E d i s s i p a d a = ∫ 0 ∞ P t   d t = R I 0 2 ∫ 0 ∞ e - 2 t τ L   d t = R I 0 2 - τ C 2 e - 2 t τ L 0 ∞

Para t = ∞ a exponencial se anula, de modo que

E d i s s i p a d a = R I 0 2 ⋅ τ L 2

Usando que τ L = L / R , achamos que

E d i s s i p a d a = L I 0 2 2

Resposta

L d I d t + R I = 0

E d i s s i p a d a = L I 0 2 2

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