Enunciado

Frequentemente, o núcleo filho de um núcleo pai de um átomo radioativo é também radioativo. Suponha que o núcleo pai, chamado de P , tem uma constante de decaimento λ P , enquanto o núcleo filho, chamado de D , tem uma constante de decaimento λ D . O número de núcleos filho N D são dados pela solução de uma equação diferencial:

d N D d t = λ P N P - λ D N D

Onde N P é número de núcleos pai.

  1. Justifique esta equação diferencial.
  2. Mostre que a solução para esta equação é:
  3. N D t = N P 0 λ P λ D - λ P e - λ P t - e - λ D t

    Onde N P 0 é o número de núcleos pai presentes em t = 0 quando não existem núcleos filhos.

  4. Mostre que a expressão para N D na parte (b) dá N D > 0 se λ P - λ D ou λ D > λ P .
  5. Faça um gráfico de N P t e N D t como função do tempo quando τ D = 3 τ P onde τ P ,   τ D são as vidas médias dos núcleos pai e filho, respectivamente.

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui, pode ser?

Letra (a):

A variação temporal do número de núcleos filho ( d N D / d t ) é dada em função do decaimento dos núcleos pai e consequentemente criação dos núcleos filhos. O termo de decaimento dos núcleos pai é λ P N P , certo? E também temos que levar em conta a taxa de decaimento dos núcleos filho λ D N D , aí eles contribuem para diminuir o número de núcleos filhos e por isso tem o sinal negativo na equação diferencial.

Assim a equação diferencial fica:

d N D d t = λ P N P - λ D N D

Passo 2

Letra (b):

Para verificar se uma expressão é solução de uma equação diferencial precisamos substituir a função (e sua derivada) na equação e encontrar uma igualdade.

Então vou começar diferenciando a potencial solução com respeito ao tempo:

N D t = N P 0 λ P λ D - λ P e - λ P t - e - λ D t

d N D d t = N P 0 λ P λ D - λ P d d t e - λ P t - e - λ D t

d N D d t = N P 0 λ P λ D - λ P - λ P e - λ P t + λ D e - λ D t

E agora vou substituir essa derivada na equação diferencial do passo 1 , e precisamos lembrar que N P = N P 0 e - λ P t . Do passo um:

d N D d t = λ P N P - λ D N D

Substituindo a derivada ( d N D / d t ) no lado esquerdo, a função N D no lado direito da equação e N P temos:

N P 0 λ P λ D - λ P - λ P e - λ P t + λ D e - λ D t = λ P N P 0 e - λ P t - λ D N P 0 λ P λ D - λ P e - λ P t - e - λ D t

Vou multiplicar os dois lados por ( λ D - λ P ) / λ D λ P e simplificar o que der, saca só:

λ D - λ P λ D λ P × N P 0 λ P λ D - λ P - λ P e - λ P t + λ D e - λ D t = λ D - λ P λ D λ P ×   λ P N P 0 e - λ P t - λ D N P 0 λ P λ D - λ P e - λ P t - e - λ D t

N P 0 λ D - λ P e - λ P t + λ D e - λ D t = λ D - λ P λ D λ P N P 0 e - λ P t - N P 0 e - λ P t - e - λ D t

E vou simplificar mais um pouco o lado direito:

N P 0 λ D - λ P e - λ P t + λ D e - λ D t = N P 0 e - λ P t - N P 0 λ P λ D e - λ P t - N P 0 e - λ P t + N P 0 e - λ D t

N P 0 λ D - λ P e - λ P t + λ D e - λ D t = - N P 0 λ P λ D e - λ P t + N P 0 e - λ D t

E agora vou colocar N P 0 / λ D em evidência no lado direito e assim obter uma igualdade:

N P 0 λ D - λ P e - λ P t + λ D e - λ D t = N P 0 λ D - λ P e - λ P t + λ D e - λ D t

Como encontramos uma igualdade, significa que a solução dada no problema é realmente uma solução da equação diferencial.

Passo 3

Letra (c):

A expressão que queremos analisar é:

N D t = N P 0 λ P λ D - λ P e - λ P t - e - λ D t

Temos a multiplicação de dois fatores, então teremos N D positivo se ambos forem ou positivos ou negativos, certo?

Se λ P > λ D o denominador e a expressão dentro dos parênteses serão negativos para qualquer t > 0 . Se λ P < λ D tanto o denominador quanto a expressão dentro dos parênteses serão positivas para t > 0 .

Passo 4

Letra (d):

As funções a serem esboçadas em um gráfico são:

N D t = N P 0 λ P λ D - λ P e - λ P t - e - λ D t

N P ( t ) = N P 0 e - λ P t

Com a ajuda de um programa um gráfico com as duas funções é mais ou menos assim:

Espero ter ajudado!

Até a próxima =)

Resposta

a )   a   t a x a   d e   c r i a ç ã o   d e   N D   é   p r o p o r c i o n a l   a o   d e c a i m e n t o   d o s   n ú c l e o s   p a i   + λ P N P

e   d i m i n u i   q u a n d o   h á   d e c a i m e n t o   d o s   n ú c l e o s   f i l h o s   ( - λ D N D )

b )   d e m o n s t r a ç ã o

c )   d e m o n s t r a ç ã o

d )

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