Enunciado

Neste problema vamos calcular a diferença no tempo de chegada de dois neutrinos com energias diferentes vindos de uma supernova localizada a 170   000   a n o s - l u z de distância. Sejam as energias dos neutrinos E 1 = 20 M e V e E 2 = 5 M e V , e vamos assumir que a massa do neutrino seja 2 e V / c 2 . Como as energias totais dos neutrinos são muito maiores do que suas energias de repouso, os neutrinos têm velocidades que são muito próximas de   c e energias que são aproximadamente E ≈ p c .

  1. Se t 1 e t 2 forem os tempos que os neutrinos, com velocidades u 1 e u 2 , levam para percorrer uma distância x , mostre que Δ t = t 2 - t 1 = x u 1 - u 2 u 1 u 2 ≈ x Δ u c 2 .
  2. A velocidade de um neutrino de massa m e energia total E pode ser encontrada a partir de E = m c 2 / 1 - u 2 c 2 1 2 . Mostre que quando E ≫ m c 2 a razão de velocidades u / c é dada aproximadamente por u c ≈ 1 - 1 2 m c 2 E 2 .
  3. Use os resultados da Parte (a) e (b) para calcular u 1 - u 2 para as energias e massas dadas, e calcule Δ t a partir do resultado da parte (a) para x = 170   000 c . a n o s .
  4. Repita os cálculos da parte (c) usando 20 e V / c 2 para a massa do neutrino.

Passo 1

Fala galera, tudo belezinha? Essa questão parece cabeluda, mas vou ajudar você aqui! Vamos começar?

Letra (a):

Sabendo que as velocidades são constantes temos que x = u t , certo? Assim a variação do tempo em função do deslocamento x e das velocidades é:

t 2 - t 1 = x u 2 - x u 1 = x u 1 - x u 2 u 1 u 2 = Δ t

E como as velocidades são próximas à velocidade da luz c , então podemos dizer que u 1 u 2 ≈ c 2 e temos também que Δ u = u 1 - u 2 , daí a variação do tempo fica conforme o problema pede, saca só:

Δ t = x u 1 - x u 2 u 1 u 2 = x ( u 1 - u 2 ) u 1 u 2 ≈ x Δ u c 2

Beleza?

Passo 2

Letra (b):

Agora vou pegar uma equação do livro pra me ajudar, certo? A partir da 39.25 temos o seguinte:

u c = 1 - m c 2 E 2 = 1 - m c 2 E 2 1 / 2

Usando a expansão em séries de potência temos que:

1 - A 2 1 / 2 ≈ 1 - 1 2 A 2 + …

Aqui temos que A = m c 2 / E , então podemos expandir até o termo quadrático:

u c ≈ 1 - 1 2 m c 2 E 2

Tranquilo? Vamos para o próximo item?

Passo 3

Letra (c):

Vou começar expressando u 1 - u 2 em termos das energias e m c 2 :

u = c 1 - 1 2 m c 2 E 2

Daí temos que u 1 - u 2 é:

u 1 - u 2 = c 1 - 1 2 m c 2 E 1 2 - c 1 - 1 2 m c 2 E 2 2

u 1 - u 2 = c 2 m c 2 E 2 2 - c 2 m c 2 E 1 2

Δ u = c 2 m c 2 2 1 E 2 2 - 1 E 1 2

Δ u = c 2 m c 2 2 E 1 2 - E 2 2 E 2 2 E 1 2

E agora é só substituir os valores:

Δ u = c 2 2 e V c 2 c 2 2 20 M e V 2 - 5 M e V 2 5 M e V 2 20 M e V 2 = 7,5 × 10 - 14 c

E agora vamos calcular Δ t :

Δ t = x Δ u c 2

Com Δ u = 7,5 × 10 - 14 c e x = 170   000   c . a n o s , temos:

Δ t = 1,7 × 10 5 c . a n o s 7,5 × 10 - 14 c c 2 = 1,275 × 10 - 8 a n o s

Δ t = 1,275 × 10 - 8 a n o s   31,56 × 10 6 s a n o

Δ t = 0,4 s

Passo 4

Letra (d):

Usando m c 2 = 20 e V para a energia de repouso do neutrino temos

Δ u = c 2 20 e V c 2 c 2 2 20 M e V 2 - 5 M e V 2 5 M e V 2 20 M e V 2 = 7,5 × 10 - 12 c

E repetindo o cálculo do tempo:

Δ t = 1,7 × 10 5 c . a n o s 7,5 × 10 - 12 c c 2 = 1,275 × 10 - 6 a n o s

Δ t = 1,275 × 10 - 8 a n o s   31,56 × 10 6 s a n o

Δ t = 40 s

Beleza? Espero ter te ajudado!

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

a )   d e m o n s t r a ç ã o

b )   d e m o n s t r a ç ã o

c ) Δ u = 7,5 × 10 - 14 c   ;   Δ t = 0,4 s

d ) Δ u = 7,5 × 10 - 12 c ;   Δ t = 40 s

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