Enunciado

A função delta de Dirac pode ser vista como o caso-limite de um retângulo de área 1 , sendo que a altura vai até o infinito e a largura vai a zero. Demonstre que o poço função delta (Equação 2.114 ) é um potencial ‘fraco’ (apesar de ser infinitamente profundo) no sentido de que z 0 → 0 . Determine a energia do estado ligado para o potencial função delta, tratando-o como o limite de um poço quadrado finito. Verifique se sua resposta é consistente com a Equação 2.129 . Demonstre também que a Equação 2.169 é reduzida à Equação 2.141 no limite apropriado

Passo 1

E aí, beleza? Pra resolver essa questão vamos ter que ter certo cuidado ao tratar as variáveis. Primeiramente, vamos relacionar o potencial função delta com o poço. Note que, no potencial V x = - α δ ( x ) , α corresponde à “área” do poço. Desse modo, vem que:

α = 2 a V 0

No limite em que a → 0 . Assim, temos que:

V 0 = α 2 a

Assim, a variável z 0 é dada por:

z 0 = a ℏ 2 m α 2 a   →   z 0 = 1 ℏ   m a α  

E, consequentemente, nesse limite, z 0 → 0 .

Passo 2

Desse modo, da equação transcendental para z , vem que:

tan ⁡ z = z 0 z 2 - 1

Como o z também tende a zero, podemos usar a aproximação para a tangente:

tan ⁡ z ≈ z = 1 z   z 0 2 - z 2

Dessa forma, temos ainda que, como z 0 2 - z 2 = k a 2 :

z 2 = k a

Passo 3

Agora, analisaremos novamente a relação entre z e z 0 . Nesse sentido, concluímos que:

z 0 2 - z 2 = z 4

Mas, como z → 0 , então z 4 ≪ 1 , portanto, temos a seguinte relação:

z 0 ≈ z = k a

Ou seja, assim, determinamos o nível de energia correspondente ao estado ligado do poço função delta:

k a = 1 ℏ   m a α ∴ k = m α ℏ 2

Portanto:

E = - k 2 ℏ 2 2 m → E = - m α 2 ℏ 2

Que está de acordo com a relação obtida anteriormente.

Passo 4

Agora, para o coeficiente de transmissão, como V 0 ≫ E   temos:

T - 1 = 1 + V 0 2 4 E V 0 sen 2 ⁡ 2 a ℏ   2 m V 0

No limite em que estamos, temos que a → 0 e V 0 → ∞ . Portanto, o argumento do seno é:

2 a ℏ 2 m V 0 = α ℏ 2 m V 0

Nesse limite, o argumento do seno é pequeno, logo podemos fazer a aproximação: sen ⁡ x ≈ x . Com isso, vem:

T - 1 = 1 + V 0 4 E   2 a ℏ 2 2 m V 0

Assim, podemos reescrever a equação acima como:

T - 1 = 1 + 2 a V 0 2 m 2 ℏ 2 E

E, como 2 a V 0 = α , a equação se resume a:

T - 1 = 1 + m α 2 2 ℏ 2 E

Como foi obtido no tratamento do potencial da função delta de Dirac!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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