Enunciado

Determine o coeficiente de transmissão para uma barreira retangular (a mesma da Equação 2.145 , mas dessa vez com V x = + V 0 > 0 na região - a < x < a ). Separadamente, resolva os três casos: E < V 0 , E = V 0 e E > V 0 (note que a função de onda dentro da barreira é diferente nos três casos). Resposta parcial: para E < V 0 ,

T - 1 = 1 + V 0 2 4 E ( V 0 - E )   s e n h 2 2 a ℏ   2 m ( V 0 - E )

Passo 1

Fala aí, beleza? Nessa questão vamos analisar como fica o coeficiente de transmissão para os três casos possíveis. Nesse primeiro momento, vamos considerar E < V 0 . Assim, a função de onda fica:

ψ = A e i k x + B e - i k x ,                   x < - a C e l x + D e - l x ,             - a < x < a F e i k x ,                                                               x > a

Em que k = 2 m E / ℏ e l = 2 m V 0 - E / ℏ . Assim, das condições de contorno, temos:

Continuidade em x = - a :

A e - i k a + B e i k a = C e - l a + D e l a

Continuidade da derivada em x = - a :

i k A e - i k a - B e i k a = l C e - l a - D e l a

Continuidade em x = a :

C e l a + D e - l a = F e i k a

Continuidade da derivada em x = a :

l C e l a - D e - l a = i k F e i k a

Passo 2

Das duas primeiras equações, podemos resolver para A (dividindo a segunda equação por i k e somando as duas):

2 A e - i k a = 1 - i l k C e - l a + 1 + i l k D e l a  

Agora, da terceira e da quarta, podemos resolver para C e D (dividindo a quarta por l e, então, somando e depois subtraindo as duas). Assim:

2 C e l a = 1 + i k l F e i k a               ;               2 D e - l a = 1 - i k l F e i k a

Portanto, A fica:

2 A e - i k a = 1 2 1 - i l k 1 + i k l F e i k a   e - l a + 1 2 1 + i l k 1 - i k l F e - i k a   e l a

Simplificando, ficamos com:

2 A e - i k a = F e i k a 2 2 e - 2 l a + e 2 l a + i ( l 2 - k 2 ) k l e 2 k a - e - 2 k a

Ou, ainda:

2 A e - i k a = F e i k a 2 4 cosh ⁡ 2 l a + i ( l 2 - k 2 ) k l   2   s e n h 2 l a

Dessa forma, T fica:

T - 1 = F A 2 = cosh 2 ⁡ 2 l a + l 2 - k 2 2 2 k l 2     s e n h 2 2 l a

O termo l 2 - k 2 2 2 k l 2 pode ser simplificado ao substituirmos os valores originais. Assim utilizando a relação fundamental da trigonometria hiperbólica, chegamos em:

T - 1 = 1 + V 0 2 4 E ( V 0 - E )   s e n h 2 2 a ℏ   2 m ( V 0 - E )

Passo 3

Agora, para o caso em que E = V 0 , as soluções ficam:

ψ = A e i k x + B e - i k x ,                   x < - a C + D x ,             - a < x < a F e i k x ,                                                               x > a

Sendo k o mesmo dos passos anteriores. Assim, das mesmas condições de contorno, chegamos em:

A e - i k a + B e i k a = C - D a     ( i )

i k A e - i k a - B e i k a = D   ( i i )

C + D a = F e i k a   ( i i i )

D = i k F e i k a     ( i v )

Que são as 4 equações que vamos usar para determinar F em função de A

Passo 4

Podemos determinar facilmente A em termos de B e F com a primeira e a terceira equações subtraindo a primeira da terceira:

A e - i k a + B e i k a - F   e i k a = - 2 D a

Eliminando D com a quarta equação, temos:

A e - 2 i k a + B = F ( 1 - 2 i a k )

Da segunda e da quarta, temos que:

A e - 2 i k a - B = F

Assim, podemos eliminar B , ficando apenas com A e F :

2 A e - 2 i k a = 2 F ( 1 - i a k )

Portanto:

T - 1 = A F 2 = 1 + k a 2 → T - 1 = 1 + 2 m E ℏ 2 a 2

Passo 5

Para E > V 0 , podemos aproveitar a Equação 2.169 e apenas trocar o sinal de V 0 , pois se trata da mesma situação física. Assim:

T - 1 = 1 + V 0 2 4 E ( E - V 0 ) sen 2 ⁡ 2 a ℏ   2 m ( E - V 0 )

Resposta

E < V 0 →         T - 1 = 1 + V 0 2 4 E ( V 0 - E )   s e n h 2 2 a ℏ   2 m ( V 0 - E )

E = V 0 →   T - 1 = 1 + 2 m E ℏ 2 a 2        

E > V 0 →   T - 1 = 1 + V 0 2 4 E ( E - V 0 ) sen 2 ⁡ 2 a ℏ   2 m ( E - V 0 )

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