Enunciado

Nossa galáxia contém muitas nuvens moleculares, regiões com extensão de muitos anos-luz em que a densidade é suficientemente elevada e a temperatura é suficientemente baixa para que os átomos formem moléculas. Quase todas as moléculas são de H 2 , porém, algumas delas são de monóxido de carbono C O . Tal nuvem molecular na constelação de Órion pode ser vista na figura 42.39 . A imagem do lado esquerdo foi obtida com um telescópio comum de luz; do lado direito uma nuvem molecular na constelação de Órion foi revelada com o uso de um radiotelescópio sintonizado para o comprimento de onda correspondente a uma emissão do espectro de rotação do C O . (Uma vez que uma nuvem molecular possui 10000 moléculas de hidrogênio para cada molécula de C O , poderia parecer mais razoável sintonizar o radiotelescópio para detectar as emissões de moléculas H 2 , em vez de tentar detectar as emissões de C O . Infelizmente, verificou-se que as moléculas de H 2 em uma nuvem molecular não irradiam nem na região do visível, nem na região do espectro eletromagnético.)

  1. Usando os dados do exemplo 42.2 , calcule a energia e o comprimento de onda do fóton, emitido pela molécula de C O na transição rotacional l = 1 → l = 0 .
  2. Como regra geral, as moléculas de um gás a uma temperatura T encontram-se em um certo estado excitado de energia rotacional quando a energia desse nível não é maior do que k T . Use essa regra para explicar como os astrônomos podem detectar a radiação do C O   em uma nuvem molecular, embora a temperatura típica de uma nuvem molecular seja da ordem de 20 K .

Passo 1

Letra a)

Vamos primeiro calcular a energia rotacional nos estados l = 0 e l = 1 para depois determinas a diferença de energia entre os níveis, e a consequentemente energia do fóton emitido.

Lembrando que a energia rotacional é:

E l = l l + 1 ℏ 2 2 I

Para E l = 0 temos:

E 0 = 0 0 + 1 ℏ 2 2 I = 0

Para E l = 1 temos:

E 1 = 1 1 + 1 ℏ 2 2 I = ℏ 2 I

Agora lembrando que o momento de inércia para a molécula C O   é 1,449 × 10 - 46 k g . m 2 e que a constante de Planck efetiva é 1,054 × 10 - 34 J . s podemos encontrar a energia E 1 :

E 1 = 1,054 × 10 - 34 1,449 × 10 - 46 = 7,67 × 10 - 23 J

E a variação de energia vai ser:

Δ E = E 1 - E 0 = 7,67 × 10 - 23 J = 4,79 × 10 - 4 e V

E o comprimento de onda associado vai ser:

Δ E = h c λ

λ = h c Δ E = 6,63 × 10 - 34 . 3 × 10 8 7,67 × 10 - 23 = 2,59 × 10 - 3 m = 2,59 m m

Passo 2

Letra b)

A energia k T para T = 20 K é:

k T = 1,38 × 10 - 23 . 20 = 2,76 × 10 - 22 J

E em comparação com a energia que encontramos 7,67 × 10 - 23 J , a comparação entre elas pode ser dada pela razão dessas duas:

k T Δ E = 2,76 × 10 - 22 7,67 × 10 - 23 = 3,6

Isso significa que, embora a temperatura seja baixa, ainda há muita energia para excitar as moléculas de C O no primeiro nível de rotação. Isso permite que os astrônomos detectem a radiação de 2,59   m m   do comprimento de onda dessas nuvens moleculares.

Resposta

a )   4,79 × 10 - 4 e V ; 2,59 m m  

b )   - 3,3 m A

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