Enunciado

Quando um gás ideal sofre uma variação de temperatura a volume constante, a variação de sua energia interna é dada pela fórmula Δ E i n t   =   C v Δ T . No entanto, esta fórmula fornece corretamente a variação da energia interna se o volume permanece constante ou não.

  1. Explique por que essa fórmula fornece resultados corretos para um gás ideal, mesmo quando o volume muda.
  2. Usando esta fórmula, juntamente com a primeira lei da termodinâmica, mostre que, para um gás ideal ,   C p   =   C v   +   n R .

Passo 1

Temos na letra a uma perguntinha bastante teórica. Vamos relembrar primeiro o que é energia interna, tudo bem?

Para um gás ideal, a energia interna é a soma das energias cinéticas das moléculas de gás e é dada como:

E = g 2 k T

Onde g equivale aos graus de liberdade. Sendo assim, a energia cinética depende somente da variação da temperatura. Quaisquer dos dois processos que alterem a energia térmica do gás causarão Δ E i n t . Consequentemente, Δ E i n t é independente do processo.

Passo 2

Bom, o problema já nos disse que precisamos da primeira lei. Então:

  Δ E i n t = W s o b r e   o   g a s + Q a b s o r v i d o

Já sabemos qual é a variação da energia :

Δ E i n t   =   C v Δ T

E o trabalho a volume constante pode ser calculado simplesmente como:

W s o b r e   o   g a s = - W p e l o   o   g a s = - P . Δ V

W s o b r e   o   g a s = - P . ( V f - V i )

Aqui nós faremos uso de um artifício, então fiquem bem atentos. Nós queremos algo em função de nR, não em relação a pressão e volume.

Como faremos?

Bora lembrar da lei usada para os gases ideais:

P V = n R T

Optei por isolar o volume:

V = n R T P

Vamos substituir no lugar dos volumes iniciais e finais:

W s o b r e   o   g a s = - P . n R T f P - n R T i P

Assumindo que a pressão não está variando:

W s o b r e   o   g a s = - n R Δ T

Já está beem melhor!

Passo 3

Vamos substituir na primeira lei o que achamos:

C v Δ T = - n R Δ T + Q a b s o r v i d o

Isolando o calor:

Q a b s o r v i d o = ( C v + n R ) Δ T

Se lembrarmos da fórmula para o calor absorvido, lembrando aqui que estamos considerando a pressão constante:

Q a b s o r v i d o = C p Δ T

Agora conseguimos concluir que:

C p = C v + n R

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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