Enunciado

Um golfista arremessa uma bola a partir de uma elevação, imprimindo à bola uma velocidade inicial de 43   m / s e um ângulo de 30 ° acima da horizontal. A bola atinge o campo a uma distância horizontal de 180   m do local do lançamento. Suponha que o campo seja plano. (a) Qual era a altura da elevação de onde foi arremessada a bola? (b) Qual era a velocidade da bola ao chegar ao campo?

Passo 1

Show de bolinhas galerinha, pra gente começar, precisamos lembrar da fórmula que dá a trajetória de um objeto lançado com um ângulo θ e uma velocidade inicial v 0 , expressa como:

y = x tan ⁡ θ - g x 2 2 v 0 cos ⁡ θ 2

O enunciado já diz os valores de θ e v 0 , e nosso objetivo é calcular a altura da elevação de onde a bola foi arremessada.

Passo 2

(a) Belezoca, então o enunciado diz que a bola toca o chão a uma distância horizontal de x = 180   m do local de lançamento, então a situação é a seguinte:

Para calcular h na fórmula, só precisamos encontrar o valor de y quando x = 180   m , logo:

y = x tan ⁡ θ - g x 2 2 v 0 cos ⁡ θ 2

y = 180 tan ⁡ 30 ° - 9,8 2 43 cos ⁡ 30 ° 2 180 2

y = - 11   m

Só que nesse caso tomamos a origemo do movimento como sendo o ponto onde a bola é lançada, ou seja, ela é lançada 11   m acima da altura inicial, de maneira que a altura h é:

h = 11   m

Passo 3

(b) A componente horizontal da velocidade é constante:

v x = v 0 cos ⁡ θ

Logo

v x = 43 cos ⁡ 30 °

v x = 37,2   m/s

Mas a componente vertical muda com a aceleração da gravidade. Nós sabemos que no instante em que a bola passa pela altura do lançamento a sua velocidade tem o mesmo módulo da velocidade inicial, igual no desenho abaixo:

Então o módulo da componente vertical também deve ser o mesmo nessa altura:

v ' y = v 0 sen ⁡ θ

v ' y = 43 sen ⁡ 30 °

v ' y = 21,5   m/s

Agora é só calcular o que acontece com a velocidade durante essa descida de 11   m sob acelerção g , de acordo com a equação de Torricelli:

v y 2 = v ' y 2 + 2 a Δ s

Sendo assim:

v y 2 = 21,5 2 + 2 9,8 11

v y = 26,0   m/s

Passo 4

Então, logo antes de atingir o chão, a velocidade da bola tinha as seguintes componentes:

v x = 37,2   m/s

v y = 26,0   m/s

Para calcular o módulo dessa velocidade, podemos usar a relação:

v = v x 2 + v y 2

Tal que:

v = 37,2 2 + 26,0 2

v ≅ 45   m/s

Resposta

(a) A elevação de onde a bola foi arremessada tinha cerca de 11 metros de altura.

(b) A bola chega ao campo com uma velocidade de 45   m / s .

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