Enunciado

Uma partícula de massa m está no potencial

V x = ∞ ,                                           x < 0 - 32 ℏ 2 / m a 2   ,       ( 0 ≤ x ≤ a )       0 ,                                                   ( x > a )

a) Quantos estados ligados existem?

b) No estado ligado de mais alta energia, qual é a probabilidade de que uma partícula seja encontrada fora do poço ( x > a ) ? (Resposta: 0,542, então mesmo que esteja ‘ligada’ pelo poço, é mais provável que seja encontrada fora do que dentro!

Passo 1

Letra a

Assumindo V 0 ≡ 32 ℏ 2 /   m   a 2 . É como nos estados ligados ímpares do poço quadrado finito, desde que sejam aqueles que vão a zero na origem.

Referindo-se à solução para o Problema 2.29, a função de onda pode ser descrita como:

ψ ( x ) =   D   s i n   ( l x ) ,   l ≡ 2 m E + V 0 / ℏ ,     (   0 < x < a )   F   e - k x ,         k ≡ 2 m E / ℏ   ,                                         ( x > a )  

Como a função seno é ímpar, então não precisamos analisar ( - a → 0 ) , pois sabemos que para uma função ímpar temos a relação ψ ( - a ) = -   ψ ( a ) , discussão feita na seção 2.6 (Poço quadrado finito).

Passo 2

As condições de limite em x = a, gera

ψ ( x ) =   D   s i n   ( l a ) = F   e - k a ψ ' ( x ) =   l   D   c o s ( l a ) = k   F   e - k a

Dividindo as duas equações, obtemos a relação;

- c o t   z = ( z 0 / z ) 2 - 1

Com

z 0 = 2 m V 0 ℏ a = 2 m ( 32 ℏ 2 / m a 2 ) ℏ a =   2 .   32 = 64 = 8  

Referindo-se ao valor (Problema 2.29), e observando que ( 5 / 4 ) π =   7.85 <   z 0 <   3 π = 9.42 , vemos que lá são três estados vinculados.

Passo 3

Letra b

Vamos analisar a partícula dentro do poço:

I 1 =   ∫ 0 a ψ 2 d x =   D 2 ∫ 0 a s i n 2 l x d x

= D 2     x 2 - 1 2 l   s i n   ( l x )   c o s ( l x ) 0 a

= D 2   a 2 - 1 2 l   s i n   ( l a )   c o s ( l a )

Vamos analisar a partícula fora do poço:

I 2 =   ∫ 0 a ψ 2 d x  

=   F 2 ∫ a ∞ e - 2 k x d x

= F 2   - e - 2 k x 2 k a ∞ =   F 2 e - 2 k x 2 k

I 2 = D 2   s i n 2 ( l a ) 2 k

x = a ⟹ F e - k a = D s i n l a

Passo 4

Para achar o D, vamos normalizar;

  1 = I 1 + I 2 =   1 2 k D 2   a k - k l   s i n   ( l a )   c o s ( l a )   +   s i n 2 ( l a )

Mas sendo k / l =   - c o t ( l a ) , então temos;

=   1 2 k D 2   a k + c o t g   ( l a )     s i n   ( l a )   c o s ( l a )   +   s i n 2 ( l a )

=   1 2 k D 2   a k + c o s ( l a ) s i n   ( l a )     s i n   ( l a )   c o s ( l a )   +   s i n 2 ( l a )

=   1 2 k D 2 a k +   c o s 2 ( l a ) +   s i n 2 ( l a )

1 = 1 2 k D 2 a k + 1

Então

D 2 =   2 k a k + 1

Passo 5

E a probabilidade de encontrar a partícula fora do poço é

P =   I 2 = D 2   s i n 2 l a 2 k

=   2 k a k + 1   s i n 2 ( l a ) 2 k =   s i n 2 ( l a ) a k + 1

Podemos expressar z ≡   l a , e z 0 ≡ k a =   z 0 2 - z 2 (página 80 do livro);

s i n 2 l a = s i n 2 z

= 1 1 + c o t g 2 z

= 1 1 + z 0 z 2 - 1 =   z z 0 2  

Substituindo todas essas considerações na equação que descreve a probabilidade, obtemos;

P =   s i n 2 ( l a ) a k + 1 =   z 2 z 0 2 ( 1 + z 0 2 - z 2 )

Resposta

Até agora, isso é correto para qualquer estado vinculado. No presente caso z 0 =   8 e z é a terceira solução, c o t g   z =   8 z 2 - 1 , que ocorre em algum lugar no intervalo 7,85

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