Enunciado

Uma partícula de massa m está no estado fundamental do poço quadrado infinito (Equação 2.19). De repente, o poço se expande a duas vezes o seu tamanho original (a parede direita se move de a para 2ª) deixando a função de onda (momentaneamente) em repouso. Somente então, a energia da partícula é medida.

a) Qual o resultado mais provável? Qual a probabilidade de se obtê-la?

b) Qual é o próximo resultado mais provável? Qual a probabilidade de se obtê-la?

c) Qual é o valor esperado da energia? Dica: se você tiver de confrontar uma série infinita, tente outro método.

Passo 1

Letra a

Energias permitidas:

E n =   n 2 π 2 ℏ 2 2 m   2 a 2  

  Ψ ( x ,   0 ) =   2 a s i n π a x ;         ψ n ( x ) =   2 2 a s i n   n π 2 a x ( e q .   2.28 )

Vamos usar a equação 2.37, para expressar o coeficiente c n , que vamos precisar para encontrar a probabilidade.

c n = 2 a ∫ 0 a s i n π a x   s i n n π 2 a x   d x  

= 2 2 a ∫ 0 a c o s n 2 - 1 x π a -   c o s   n 2 + 1 x π a   d x  

= 1 2 a s i n n 2 - 1 x π a   n 2 - 1 π a - s i n n 2 + 1 x π a n 2 + 1 π a 0 a

Para n ≠ 2

= 1 2 a s i n n 2 - 1 a π a   n 2 - 1 π a - s i n n 2 + 1 a π a n 2 + 1 π a

=   s i n n 2 - 1 π   n 2 - 1 π a - s i n n 2 + 1 π n 2 + 1 π a

=   s i n n 2 + 1 π   2 π   1 n 2 - 1 - 1 n 2 + 1

=   4 2 π s i n n 2 + 1 π   ( n 2 - 4 )

=   0 ,     s e   n   f o r   p a r ± 4 2 π   ( n 2 - 4 ) ,   s e   n   f o r   í m p a r

Para n=2, temos:

c n = 2 a ∫ 0 a s i n π a x   s i n n π 2 a x   d x

⟶   c 2 = 2 a ∫ 0 a s i n π a x   s i n 2 π 2 a x   d x  

= 2 a ∫ 0 a s i n 2 π a x   d x  

= 2 a ∫ 0 a 1 2   d x   = 1 2

Passo 2

Então a probabilidade de obter E n vai ser igual a:

P n =     c n 2

Para chegar ao resultado de probabilidade, temos que levar em consideração o valor do n. Mas já resolvemos c n , para n=2, que era um caso especial, para n pares e ímpares, onde o valor da função seno varia. Então podemos escrever:

P n =     c n 2 =   1 2   ,                                             s e   n = 2 32 π   ( n 2 - 4 ) ,     s e   n   f o r   í m p a r 0 ,     p a r a   q u a i s q u e r   o u t r o s   v a l o r e s

O valor mais provável de obter é para n=2. A probabilidade associada é:

E 2 =   π 2 ℏ 2 2 m a 2 → P 2 =   1 2

Passo 3

Letra b

O próximo valor de energia corresponde ao estado 1, onde n=1.

E 2 =   π 2 ℏ 2 8 m a 2 → P 2 =   32 9 π 2

Passo 4

Letra c

O valor esperado da energia, corresponde:

H = ∫ Ψ *   H   Ψ   d x =   2 a ∫ 0 a s i n π a x - ℏ 2 2 m d 2 d x 2 s i n π a x   d x

mas isso é exatamente o mesmo que antes da parede ser movida – para o qual sabemos a resposta:

H = π 2 ℏ 2 2 m a 2

Resposta

O valor mais provável de obter é para n=2, e P 2 =   1 2 .

O próximo valor mais provável é onde n=1 e P 2 =   32 9 π 2

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