Enunciado

O isopor tem densidade de 150   k g / m 3 . Qual é a massa máxima que pode ser pendurada a uma esfera de isopor com 50   c m   de diâmetro, na água, sem afundá-la? Suponha que o volume da massa pendurada seja desprezível comparado ao da esfera

Passo 1

Bom! A fórmula do empuxo é dada por...

E = ρ V d e s l o c a d o g

E do enunciado, tiramos os seguintes dados mais importantes...

ρ i s o p o r = 150   k g / m 3

r e s f e r a = 50   c m 2 = 25   c m

Vamos começar fazendo um diagrama de corpo livre pra bola... Se a bola está completamente submersa, então provavelmente teremos a seguinte situação...

Vamos então, fazer nossa análise!

A força de tensão agindo sobre a massa que vai ser conectada a esfera de isopor vai ser a força peso da massa...

T = P m a s s a

Logo, como todo o sistema está em equilíbrio, a equação para a esfera de isopor vai ser dada por...

E e s f e r a = P e s f e r a + T

Substituindo T ...

E e s f e r a = P e s f e r a + P m a s s a

Obtemos a equação geral do sistema!

Passo 2

O que a gente quer saber, é o valor da massa m que deve ser conectada à esfera.

Bem! O peso dessa massa m   é dado por...

P m a s s a = m g

O peso da esfera de isopor, por sua vez, é dado por...

P e s f e r a = m e s f e r a g

Uma vez que sabemos o valor da densidade da esfera e tratando ela como uma esfera, então sua massa será dada por...

m e s f e r a = 4 3 π r e s f e r a 3 ρ i s o p o r

E então, ficamos com...

P e s f e r a = 4 3 π r e s f e r a 3 ρ i s o p o r g

Passo 3

Por último, falta achar o empuxo agindo sobre a esfera. Ele é dado pela seguinte fórmula...

E e s f e r a = ρ á g u a V d e s l o c a d o g

Como a esfera está completamente imersa na água, então...

V d e s l o c a d o = 4 3 π r 3

O empuxo ficará assim...

E e s f e r a = ρ á g u a 4 3 π r e s f e r a 3 g

Pronto! Já tá tudo no esquema! Agora é só substituir na relação abaixo...

E e s f e r a = P e s f e r a + P m a s s a

ρ á g u a 4 3 π r e s f e r a 3 g = 4 3 π r e s f e r a 3 ρ i s o p o r g + m g

ρ á g u a 4 3 π r e s f e r a 3 = 4 3 π r e s f e r a 3 ρ i s o p o r + m

Isolando m :

m = 4 3 π r e s f e r a 3 ( ρ á g u a - ρ i s o p o r )

E substituindo os valores numéricos...

m = 4 3 π 0,25 3 ⋅ ( 1000 - 150 )

m = 55,63   k g

m ≈ 56   k g

Obtemos o valor da massa que deve ser conectada à esfera!

Resposta

m ≈ 56   k g

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