Enunciado

Em um jardim zoológico, uma barra uniforme de 3,0 m de comprimento e 240 N é mantida em posição horizontal por meio de duas cordas amarradas em suas extremidades (Figura 11.30). A corda da esquerda faz um ângulo de 150 ° com a barra e a corda da direita faz um ângulo θ com a horizontal. Um mico de 90 N está pendurado em equilíbrio a 0,50 m da extremidade direita da barra, olhando atentamente para você. Calcule o módulo da tensão em cada corda e o valor do ângulo θ . Comece com um diagrama do corpo livre para a barra.

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o módulo da tensão em cada corda e calcular o valor do ângulo θ que a corda da direita faz com a horizontal. Pra isso, nós sabemos que a bara tem 3,0   m de comprimento e 240   N , que a corda da esquerda faz um ângul de 150 ° com a barra e que um mico de 90   N está pendurado na barra a 0,50   m da extremidade direita.

Esboçando tudo isso em um diagrama de corpo livre (DCL), vamos ter:

Então, nós vamos ter que encontrar T 1 , T 2 e θ . Observe que essas tensões podem ser escritas através das componentes horizontais e verticais, usando o seno ou cosseno do ângulo e que nós convencionamos o sentido anti-horário como positivo.

Assim, vamos aplicar as equações de equilíbrio, fazendo o somatório das forças em cada corda e encontrar as nossas variáveis.

Vamos lá!

Passo 2

Aplicandoo somatório dos somatório dos torques ao eixo na extremidade direita da barra, para o equilíbrio, temos:

∑ τ = 0

Sabemos que torque no sentido anti-horário é positivo, assim, multiplicamos as forças e respectivas distâncias até a caixinha laranja do nosso DCL, que representa a corda da direita, e temos:

240 N ⋅ 1,50 m + 90 N ⋅ 0,50 m - T 1 sen ⁡ 30 ° ⋅ 3 m = 0

Dessa forma, isolando a tensão T 1 na equação, temos que:

T 1 = 360 N ⋅ m + 45 N ⋅ m 1,50 m

T 1 = 270 N

Passo 3

Agora aplicando equação de equilíbrio das forças na horizontal, ∑ F x = m a x , temos que:

T 2 cos ⁡ θ - T 1 cos ⁡ 30 ° = 0

Observe que somamos as componentes horizontais das tensões. E temos:

T 2 cos ⁡ θ = T 1 cos ⁡ 30 °

Como T 1 = 270   N e cos ⁡ 30 ° = 3 2 , temos:

T 2 cos ⁡ θ ≈ 234 N

E para o equilíbrio na vertical, vamos ter:

∑ F y = m a y

Somando as componentes e forças verticais do nosso sistema:

T 1 sen ⁡ 30 ° + T 2 sen ⁡ θ - 240 N - 90 N = 0

Isso implica que:

T 2 sen ⁡ θ = 330 N - 270 N ⋅ sen ⁡ 30 °

T 2 sen ⁡ θ ≈ 195   N

Passo 4

Como a gente obteve as tensões em função em do ângulo θ , agora vamos fazer:

θ = tan - 1 ⁡ T 2 sen ⁡ θ   T 2 cos ⁡ θ

E substituindo T 2 cos ⁡ θ = 234   N e T 2 sen ⁡ θ = 195   N :

θ = tan - 1 ⁡ 195   N 234   N

Encontramos o ângulo:

θ = 40 °

Passo 5

Então, podemos calcular a tensão T 2 por meio da equação:

T 2 sen ⁡ θ ≈ 195   N

Substituindo θ = 40 ° e isolando T 2 , temos:

T 2 = 195 N sen ⁡ 40 °

T 2 = 303   N

O macaco está mais perto da corda direita do que da esquerda, então a tensão é maior na corda direita. Os componentes horizontais das tensões devem ser iguais em magnitude e opostos em direção.

Além disso, desde que T 2 < T 1 , a corda à direita deve estar em um ângulo maior acima da horizontal para ter o mesmo componente horizontal que o tensão na outra corda.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

T 1 = 270 N e T 2 = 303 N

θ = 40 °

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