Enunciado

Um dos cometas mais brilhantes que apareceram no século XX foi o cometa Hyakutake, que passou nas proximidades do Sol em torno de 1996. Estimou-se em 30000 anos o período orbital deste cometa. Calcule o semi-eixo maior da órbita desse cometa. Compare o resultado com a distancia média entre o Sol e Plutão e com a distancia da estrela mais próxima do Sol. Alfa Centauro, situada a uma distancia da Terra aproximadamente igual e 4,3 anos-luz.

Passo 1

E aí galera, aqui vamos usar a equação da órbita elíptica em torno so Sol:

T = 2 π a 3 / 2 G m S

Nesse problema devemos calcular o semi-eixo maior da órbita do Hyakutake. Ou seja vamos manipular essa fórmula pra isolar o a !

Passo 2

Da equação T = 2 π a 3 / 2 G m S

Temos que:

T 2 = 4 π 2 a 3 G m S

Isolando o a :

a = G m S T 2 4 π 2 1 3

Temos que:

m s = 1,99 × 10 30   k g

G = 6,67 × 10 - 11   N m 2 / k g

Passando o período pra segundos:

T = 30,000   a n o s ( 3.156 × 10 7 s 1 a n o ) = 9.468 × 10 11   s

Agora a gente substitui:

a = 6,67 × 10 - 11 1,99 × 10 30 9.468 × 10 11 2 4 π 2 1 3

a = 1.4 × 10 14   m .

Passo 3

O raio médio da órbita de Plutão é de 5,9 × 10 12   m (Apêndice F); o eixo semi-principal para este cometa é maior por um fator de 24.

4,3   a n o s   l u z = 4,3   a n o s   l u z   ( 9,461 × 10 15   m / 1   a n o   l u z ) = 4,1 × 10 16   m

A distância de Alpha Centauro é maior por um fator de 300.

A órbita do cometa se estende bem além de Plutão, mas está bem ao alcance de Alpha Centauro.

Resposta

1.4 × 10 14   m

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