Enunciado

Uma linha reta é traçada na superfície de um prato giratório de 16 cm de raio, do centro até a borda. Um besouro percorre esta linha a partir do centro, enquanto o prato gira no sentido anti-horário à taxa constante de 45 rpm. A rapidez do besouro em relação ao prato é constante, de 3,5 cm/s. Faça a orientação inicial do besouro coincidir com a orientação + x . Quando o besouro atingir a borda do prato (ainda viajando a 3,5 cm/s, radialmente, em relação ao prato giratório), quais são as componentes de x e y da velocidade do besouro?

Passo 1

Oi pessoal, vamos lá resolver esse problema? Primeiro nos foi dito que o besouro está em movimento e o prato também. Então trata-se de um problema de movimento relativo.

O problema que a velocidade do besouro depois de percorrer a linha feita no prato giratório. Então:

v → b = v → b p + v → p

Onde:

  • v → b = v e l o c i d a d e   d o   b e s o u r o   e m   r e l a ç ã o   a o   c h ã o
  • v → b p = v e l o c i d a d e   d o   b e s o u r o   e m   r e l a ç ã o   a   b o r d a   d o   p r a t o
  • v → p = v e l o c i d a d e   d a   b o r d a   d o   p r a t o   e m   r e l a ç ã o   a o   c h ã o

Então o que ele quer é a velocidade do besouro em relação ao chão v → b . Para acha-la, vamos precisar somar vetorialmente v → b p e v → p .

Vamos começar encontrado o módulo velocidade da borda do prato em relação ao chão v → p , porque já temos o módulo de v → b p . A gente quer a da borda porque é onde o besouro no instante onde queremos sua velocidade.

Sabemos que o prato gira à uma frequência de 45 rpm (rotações por minuto). Com a frequência podemos saber o período, pois a frequência é o inverso do período:

T = 1 f = 1 45 = 0,0222   m i n   o u   1,333   s

Para passar de minutos para segundos é só multiplicar por 60.

Aí para achar o módulo da velocidade do prato, a gente pode usar a fórmula da velocidade média:

v p = Δ x Δ t

Sendo que Δ x é o comprimento da borda do prato, então vai ser 2 π R , sendo R o raio do prato. E Δ t é o tempo decorrido em uma volta completa do prato, então é o período. Assim ficamos com:

v p = 2 π R T = 2 ⋅ π ⋅ 0,16 1,333

v p = 0,754   m / s ou 75,4   c m / s

Passo 2

Agora temos que achar a forma vetorial das nossas velocidades. A velocidade da borda do prato é sempre tangente a essa borda, então a gente pode posiciona-la em qualquer ponto da borda. Inicialmente, temos algo assim:

Só que isso é inicialmente. Precisamos saber como é a inclinação da direção do besouro quando ele está na borda do prato. Para montar nossos vetores em relação aos eixos coordenados.

Sabemos que ele andou na velocidade de 3,5 c m / s . E andou até a borda do prato. Então ele andou 16   c m a 3,5 c m / s . Quanto tempo ele andou? Vamos usar a expressão da velocidade média novamente:

v b p = Δ x Δ t → Δ t = Δ x v b p = 16 3,5 = 4.57142   s

Agora a gente precisa saber quantas voltas nosso prato deu dentro desse tempo. A gente sabe que o prato dá uma volta em T = 1,333   s . Então, a gente pode dividir um tempo pelo outro:

n u m e r o   d e   v o l t a s = 4.57142 1,333 = 3.42942   v o l t a s

Ele deu 3 voltas completas, e depois deu 0 , 42942 de uma volta no sentido anti-horário. Que ângulo é esse em relação a x ?

Se uma volta completa é 360 ° , podemos descobrir o ângulo que a gente quer pelo produto:

θ = 0 , 42942 × 360 °

θ = 154 , 6 °

Então, quando o besouro está na borda, nossa situação está assim:

Passo 3

Como sabemos o ângulo podemos agora escrever nossas velocidades na forma vetorial. Vamos escrever a forma vetorial da velocidade do besouro em relação ao prato. Esse vetor verde

v → b p = v b p ⋅ cos ⁡ θ i ^ + v b p ⋅ sin ⁡ θ j ^

v → b p = 3,5 ⋅ cos ⁡ 154,3 ° i ^ + 3,5 ⋅ sin ⁡ 154,3 ° j ^

v → b p = - 3,154   c m / s i ^ + 1,518   c m / s j ^

Obs: Pode ser que você ache valores um pouco diferentes mas isso ocorre por conta das aproximações. O princípio de resolução é o que vale.

Para a velocidade vetorial do prato (vetor azul) temos que:

v → p = v p ⋅ cos ⁡ ( θ + 90 ° ) i ^ + v p ⋅ sin ⁡ ( θ + 90 ° ) j ^

Essa defasagem de 90 ° se dá porque a velocidade que achamos para o prato era tangencial ao círculo. Assim a orientação dessa velocidade é θ mais 90 ° , pois ela é normal a velocidade do vetor verde. Temos então que:

v → p = 75,4 ⋅ cos ⁡ ( 154,3 ° + 90 ° ) i ^ + 75,4 ⋅ sin ⁡ ( 154,3 ° + 90 ° ) j ^

v → p = 75,4 ⋅ cos ⁡ ( 244,3 ° ) i ^ + 75,4 ⋅ sin ⁡ ( 244,3 ° ) j ^

v → p = - 32,70   c m / s i ^ + - 67,94   c m / s j ^

Passo 4

Finalmente podemos fazer a soma vetorial das velocidades que escrevemos no passo 1:

v → b = v → b p + v → p

v → b = - 3,154   c m / s i ^ + 1,518   c m / s j ^ + - 32,70   c m / s i ^ + - 67,94   c m / s j ^

v → b = - 3,154 c m s + - 32,70 c m s i ^ + 1,518 c m s + - 67,94 c m s j ^

v → b = - 35,854   c m / s i ^ + - 66,422   c m / s j ^

v b x = - 35,854   c m / s

v b y = - 66,422   c m / s

Resposta

v b x = - 35,854   c m / s

v b y = - 66,422   c m / s

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