Lista de Exercícios Resolvidos de Equações do Movimento em Notação Vetorial

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Um elétron de massa m e velocidade horizontal v 0 incide em uma região entre duas placas paralelas eletricamente carregadas, conforme mostra a figura abaixo. Ao percorrer essa região o elétron é submetido a uma forca vertical F , constante, para cima (sabe-se que F = m . a ). Sabendo-se que o comprimento das placas é igual a l e desprezando o efeito da aceleração da gravidade, determine:

a   O vetor posição do elétron r → ( t ) em função do tempo, quando este se encontra entre as placas paralelas eletricamente carregadas. Considere que a origem do sistema de coordenadas é do lado esquerdo das placas e que o elétron passa pela origem do sistema de coordenadas no instante t = 0   s , conforme mostra a figura. Expresse o resultado em termos de m , v 0 , F , e t .

b O valor de Y , quando o elétron atinge um anteparo situado a uma distancia L das placas paralelas. Expresse o resultado em termos de m , v 0 , F , l , L .

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Na figura abaixo, a partícula A se move ao longo da reta y = 30   m com uma velocidade constante v → paralela ao eixo x . No instante de tempo em que a partícula A passa pelo eixo y , a partícula B deixa a origem com velocidade inicial zero e aceleração constante a → de módulo 0,40   m / s 2 , o ângulo entre a → e o semi-eixo y positivo é θ = 60 ° .

a Escreva uma expressão para a velocidade da partícula B .

b   Escreva uma expressão para a posição da partícula A em função do tempo.

c   Escreva uma expressão para a posição da partícula B em função do tempo.

d   Que valor de velocidade v → deve ter a particula A para que aconteça a colisão?

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Uma partícula deixa a origem com uma velocidade inicial v → = 3,00 i ^   m / s e uma aceleração constante a → = - 1,00 i ^ - 0,500 j ^ m / s 2 . Quando ela atinge o máximo valor de sua coordenada x , quais são a   a sua velocidade e b   o seu vetor posição?

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No tempo zero, uma partícula está em x = 4,0   m e y = 3,0   m e tem a velocidade v → = ( 2,0   m / s ) i ^   + ( - 9,0   m / s ) j ^ . A aceleração da partícula é constante e dada por a → = ( 4,0   m / s 2 ) i ^   + ( 3,0   m / s 2 ) j ^ . a   Encontre a velocidade em t = 2,0   s b   Expresse o vetor posição em t = 4,0   s em termos de i ^ e j ^ . Além disso, dê a magnitude e a orientação do vetor posição neste tempo.

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Um canhão dispara uma bala, desde o terraço de um edifício, na posição (unidades SI):

r → 0 = 9 i + 4 j + 15 k

com velocidade inicial (unidades SI):

v → 0 = 13 i + 22,5 j + 15 k

em que o eixo dos z aponta na direção vertical, para cima, e com origem no chão. Admitindo que a resistência do ar pode ser desprezada, calcule a altura máxima atingida pela bala e a posição em que a bala bate no chão.

Obs: Pega a calculadora que cê pode precisar ;)

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As “lentes” de um microscópio eletrônico consistem em campos elétricos e magnéticos que controlam um feixe de elétrons. Como um exemplo da manipulação do feixe de elétrons, considere um elétron afastando-se da origem ao longo do eixo x no plano x y com velocidade inicial v 0 → = 3 .   10 6   i ^ . Sua aceleração pode ser decomposta em uma componente na mesma direção que a velocidade inicial, de módulo a x = 8   .   10 14   m / s 2 e outra no sentido perpendicular, com módulo a y = 1,6   .   10 15   m / s 2 .

Determine:

a   A expressão para a posição do elétron em função do tempo e a posição deste quando x = 0,01   m .

b   A expressão para a velocidade do elétron em função do tempo e a velocidade quando x = 0,01   m .

c   A velocidade escalar do elétron quando x = 0,01   m .

(d) A direção da trajetória do elétron.

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Uma partícula, cuja velocidade   v → 0 = - 2,0 i + 4,0 j   m / s   em t=0, sofre uma aceleração constante a → de módulo a = 3,0 m / s 2 , que faz um ângulo θ = 130 ° com o eixo-x positivo. Qual é, aproximadamente, a velocidade v → em t = 5,0 s ?

Obs: Pega a calculadora que vai te ajudar :D

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Um corpo encontra-se inicialmente (em unidades do SI) com velocidade  v → 0 = 5 j + 4 k . Em qualquer instante, a aceleração é dada pela expressão  a → = 2 t 2 i + 3 t k . Encontre a expressão para a velocidade em função do tempo.

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O vetor posição de um corpo em função do tempo, t , é r → t = r → 0 + v → 0 t + 1 2 a → t 2 , onde r → 0 (posição inicial), v → 0 (velocidade inicial) e a → (aceleração) são vetores constantes. Afirma-se que: I ) se v → 0 e a → tem a mesma direção o movimento é retilíneo. I I ) a trajetória é um arco de parábola para qualquer a → . I I I ) esta equação descreve um movimento circular uniforme. I V ) se a → = 0 o movimento é retilíneo e uniforme. A resposta correta é:

  1. I e II estão corretas
  2. I e III estão corretas
  3. II e III estão corretas
  4. I e IV estão corretas
  5. Nenhuma delas esta correta

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Na figura abaixo, a partícula A se move ao longo da reta y = 30   m com uma velocidade constante v → paralela ao eixo x . No instante de tempo em que a partícula A passa pelo eixo y , a partícula B deixa a origem com velocidade inicial zero e aceleração constante a → de módulo 0,40   m / s 2 , o ângulo entre a → e o semi-eixo y positivo é θ = 60 ° .

a) Escreva uma expressão para a velocidade da partícula B .

b) Escreva uma expressão para a posição da partícula A em função do tempo.

c) Escreva uma expressão para a posição da partícula B em função do tempo.

d) Que valor de velocidade v → deve ter a particula A para que aconteça a colisão?

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As “lentes” de um microscópio eletrônico consistem em campos elétricos e magnéticos que controlam um feixe de elétrons. Como um exemplo da manipulação do feixe de elétrons, considere um elétron afastando-se da origem ao longo do eixo x no plano x y com velocidade inicial v 0 → = 3   .   10 6   i → . Sua aceleração pode ser decomposta em uma componente na mesma direção que a velocidade inicial, de módulo a x = 8   .   10 14   m / s 2 e outra no sentido perpendicular, com módulo a y = 1,6   .   10 15   m / s 2 .

Determine:

a) A expressão para a posição do elétron em função do tempo e a posição deste quando x = 0 , 01   m .

b) A expressão para a velocidade do elétron em função do tempo e a velocidade quando x = 0 , 01   m .

c) A velocidade escalar do elétron quando x = 0 , 01   m .

d) A direção da trajetória do elétron.

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Uma partícula descreve uma trajetória dada por r → t = 4 - t 2 i ^ + t j ^ . Qual a expressão que descreve corretamente sua trajetória?

a) y = 4 - x 2

b) y = 4 - x

c) y 2 = 4 - x

d) y 2 = 4 + x

e) y = 2 - x

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A posição de uma partícula em metros é descrita pelo vetor posição

r → t = 3 + 5 t 4 - 2 t 5 î + ( t 4 - 8 t 3 3 ) j ^

Seja θ o ângulo em radianos que o vetor velocidade da partícula faz com o eixo x no instante t   =   1   s . Pode-se afirmar que θ é igual a:

(a) tan ⁡ ( 5 / 2 )

(b) tan ⁡ ( - 5 / 2 )

(c) arctan ⁡ ( 5 / 2 )

(d) tan ⁡ ( 2 / 5 )

(e) tan ⁡ ( - 2 / 5 )  

(f) arctan ⁡ ( - 2 / 5 )

(g) arctan ⁡ ( - 5 / 2 )

(h) arctan ⁡ ( 2 / 5 )

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A posição de uma partícula em metros é descrita pelo vetor posição

r → t = 3 + 5 t 4 - 2 t 5 î + ( t 4 - 8 t 3 3 ) j ^

O instante em que a partícula inverte o sentido do seu movimento é:

(a) 1   s

(b) 2   s

(c) 3   s

(d) 8 / 3   s

(e) 3 / 8   s

(f) 4   s

(g)   8   s

(h) 16   s

(i) 16 / 3   s

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Duas partículas, m 1 e m 2 , se movem no plano x y com acelerações constantes iguais a a 1 = 0,5   i ^   m / s 2 e a 2 = 2,0   i ^ + 3 2 j ^ m / s 2 , respectivamente. A partícula m 1 inicia seu movimento na posição r → 1 = 12,0 j ^   m , com velocidade inicial de 3,0 i ^   m / s . A partícula m 2 começa o movimento na origem, partindo do repouso. Em que posição e em que instante de tempo as partículas de encontram?

(a) r → = 16,0   i ^ + 12,0   j ^ m ; t = 4,0 s

(b) r → = 16,0   i ^ + 12,0   j ^ m ; t = 16 , 0 s

(c) r → = 12 , 0   i ^ + 6 , 0   j ^ m ; t = 12 s

(d) r → = 12,0   i ^ + 6,0   j ^ m ; t = 12,0 s

(e) r → = 12,0   i ^ + 1 6,0   j ^ m ; t = 4,0 s

(f) r → = 8 , 0   i ^ + 12,0   j ^ m ; t = 8 s

(g) r → = 12,0   i ^ + 8 , 0   j ^ m ; t = 8 s

(h) r → = 6 , 0   i ^ + 12 , 0   j ^ m ; t = 12 s

(i) r → = 4 , 0   i ^ + 12,0   j ^ m ; t = 4,0 s

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O vetor aceleração de uma partícula é dado por a → = - a 1   i ^ - a 2   j ^ , onde a 1 e a 2 são constantes positivas. Sabendo-se que a velocidade da partícula em t = 0 é igual a v 0 i ^ , com v 0 > 0 , determine

a) o vetor velocidade em função do tempo;

b) o instante de tempo em que os vetores velocidades e aceleração da partícula são ortogonais entre si.

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Num laboratório, são lançados simultaneamente dois projéteis de dimensões desprezíveis.

No instante t = 0 de lançamento, os projéteis ocupam as posições r → 1 0 = h 1 j ^ e r → 2 0 = x 0 i ^ + h 2 j ^ , com x 0 > 0 e 0 < h 2 < h 1 , de onde partem com velocidades v → 1 0 = v 0 i ^ e v → 2 0 = - v 0 i ^ respectivamente. O sistema de eixos foi escolhido tal que g   → =   - g j ^ .

(a) Os projéteis colidem em pleno voo? Se sim, em qual instante?

(b) Supondo que h 1 seja a altura inicial do primeiro projétil a partir do solo, quanto tempo ele leva para atingi-lo?

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O vetor velocidade de uma partícula é v t = 2 t 3 + t 2 i ^ + 4 t j ^   S I . Qual é o valor da aceleração no tempo t = 1 s ²

  1. 8 i ^ + 2 j ^
  2. 6 i ^ + 4 j ^
  3. 4 i ^ + 4 j ^
  4. 8 i ^ + 4 j ^
  5. 8 i ^ + 6 j ^

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Considere o lançamento de projéteis num plano w z , onde o vetor aceleração pode ser escrito assim: a → t = - g   z ^ + 0   w ^ Sobre o movimento do projétil, marque a alternativa incorreta:

(a) A velocidade do projétil ao longo da direção w é constante;

(b) A aceleração do projétil ao longo da direção w é zero;

(c) A velocidade do projétil ao longo da direção z é constante;

(d) A aceleração do projétil ao longo da direção z é - g ;

(e) A trajetória do projétil será uma parábola do tipo z = a w 2 + b w + c , onde a , b e c são constantes.

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O vetor velocidade (em m / s ) de uma partícula é v t = 1 t - 8 i ^ + 2 t 2 - 16 t j ^ , onde i ^ e j ^ são os vetores unitários ao longo dos eixos x e y , respectivamente. Em que instante t a partícula inverte o sentido do seu movimento?

(a) 1   s

(b) 2   s

(c) 3   s

(d) 4   s

(e)   5   s

(f) 6   s

(g) 7   s

(h)   8   s

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O vetor posição de um corpo em função do tempo, t , é dado por r → ( t ) = r → 0 + v → 0 t + 1 2 a → t 2 , onde os vetores r → 0 (posição inicial), v → 0 (velocidade inicial) e a → (aceleração) são constantes. Considerando a trajetória do corpo, qual a única incorreta das afirmativas a seguir?

(a) Se v → 0 e a → tem a mesma direção o movimento é retilíneo.

(b) Se a → = 0 o movimento é retilíneo e uniforme.

(c) Se v → 0 = 0 e a → ≠ 0 o movimento é retilíneo uniformemente variado

(d) A trajetória descrita pelo corpo é uma parábola para qualquer valores de v → 0 e a → .

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Uma partícula move-se no plano x y , começando da origem em t = 0 com uma velocidade inicial v → = ( 20 m / s ) ı ̂ -   ( 15 m / s ) ȷ ̂ . Há uma aceleração dada por a → = ( 4 m / s 2 ) ı ̂ +   ( 0 m / s 2 ) ȷ ̂ . O vetor velocidade num instante qualquer é:

a. v → = ( 24   t   m / s ) ı ̂ - ( 15 m / s ) ȷ ̂

b. v → = 24   t   m / s ı ^ + ( 15 m / s ) ȷ ̂

c. v → = 20   t   m / s ı ^ + ( 15 m / s ) ȷ ̂

d. v → = ( ( 20 + 4 t ) m / s ) ı ̂ - ( 15 m / s ) ȷ ̂

e. v → = ( 20 + 4 t m / s ) ı ̂ + ( 0 m / s ) ȷ ̂

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Sabendo-se que a posição de uma partícula, em relação à origem O do plano x y , é determinada pelo vetor:

r → t =   x t i ^ + y t j ^ = 1 4 m s 3 t 3 i ^ + 1 m s 2 t 2 j ^

Com | | r → | | em metros ( m ) e t em segundos ( s ), determine:

a ) O vetor velocidade instantânea v → ( t ) e o vetor aceleração instantânea a → ( t ) em função do tempo.

b ) O vetor velocidade instantânea no ponto A e o vetor aceleração instantânea no ponto B , ambos os pontos estão indicados no gráfico abaixo. Neste gráfico, a curva contínua representa a trajetória da partícula, descrita através do vetor posição r → ( t )

c ) O vetor velocidade média v m → e o vetor aceleração média a m → , ambos entre os pontos A e B .

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Conteúdos Complementares

Fórmulas de Equações do Movimento em Notação Vetorial

Fórmulas do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado