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Um longo solenoide com n voltas por unidade de comprimento conduz uma corrente que aumenta linearmente com o tempo. O solenoide tem raio R , comprimento L e a corrente I   nas voltas é dada por I = a t .

(a)Determine o campo elétrico induzido a uma distância r < R do eixo central do solenoide.

(b)Determine a magnitude, a direção e o sentido do vetor Poynting S em r = R (no interior das voltas do solenoide).

(c)Calcule o fluxo S . d A para dentro do solenoide e mostre que o fluxo e igual a taxa de aumento da energia magnética no interior do solenoide.

Passo 1

Uma vista final do solenóide é mostrada no diagrama. Seja a corrente no sentido horário e escolha um sistema de coordenadas no qual a direção +x é tangente às superfícies cilíndricas concêntricas com o eixo do solenóide. Note que a direção +z está fora do plano do diagrama. Podemos usar a lei de Faraday para expressar o campo elétrico induzido a uma distância r < R do eixo do solenóide em termos da taxa de variação do fluxo magnético e B = n μ 0 a t para expressar B em termos da corrente nos enrolamentos do solenóide. Podemos usar os resultados de (a) para encontrar o vetor de Poynting na superfície cilíndrica r = R apenas dentro dos enrolamentos do solenóide . Na Parte (c), usaremos a definição de fluxo e a expressão para a energia magnética em uma determinada região para mostrar que o fluxo de para o solenóide é igual à taxa de aumento da energia magnética dentro do solenóide.

Passo 2

Letra a:

Aplique a lei de Faraday a um caminho circular de raio r < R para relacionar a magnitude do campo elétrico induzido à magnitude da taxa de mudança do fluxo magnético:

∮ C E → ⋅ d l → = E ( 2 π r ) = - d ϕ m d t

Resolvendo, temos:

E = - 1 2 π r d ϕ m d t

Expresse a força do campo magnético dentro de um solenóide longo:

B = n μ 0 I = n μ 0 a t

O fluxo magnético através de um círculo de raio r é:

ϕ m = B A = n μ 0 a t π r 2

Substitua por Φ m na equação (1) e simplifique para obter:

E = - 1 2 π r d d t n μ 0 a t π r 2 = - n μ 0 a r 2

A direção de E → é tal que produz uma fem que se opõe ao aumento da corrente, então se a corrente for no sentido horário, então E →   está na direção oposta e:

E → = - 1 2 n μ 0 a r θ ^

onde θ ^ é um vetor unitário tangente aos círculos concêntricos com o eixo do solenóide.

Passo 3

Letra b:

Expresse S →   em r = R:

S → = 1 μ 0 E → × B → B = n μ 0 I = n μ 0 a t B → = n μ 0 a t k ^

S → = 1 μ 0 - n μ 0 a r 2 i ^ × - n μ 0 a t k ^ = - n 2 μ 0 a 2 R t 2 j ^

Como E → × B → é um vetor que aponta em direção ao eixo do solenóide, também podemos escrever S →   como:

S → = - 1 2 n 2 μ 0 a 2 R t r ^

Passo 4

Letra c:

Considere uma superfície cilíndrica de comprimento L e raio R. Como S → aponta para dentro, a energia fluindo para o solenóide por unidade de tempo é:

∮ S n d A = 2 π R L S = 2 π R L n 2 μ 0 a 2 R t 2 = n 2 π μ 0 R 2 L a 2 t

Expresse a energia magnética no solenoide

U B = u m V = B 2 2 μ 0 π R 2 L = μ 0 n a t 2 2 μ 0 π R 2 L = n 2 π μ 0 R 2 L a 2 t 2 2

d U B d t = d d t n 2 π μ 0 R 2 L a 2 t 2 2 = n 2 π μ 0 R 2 L a 2 t = ∮ S n d A

Observações: A igualdade das duas taxas de fluxo é uma declaração da conservação de energia.

Resposta

  1. E → = - 1 2 n μ 0 a r θ ^
  2. S → = - 1 2 n 2 μ 0 a 2 R t r ^
  3. A igualdade das duas taxas de fluxo é uma declaração da conservação de energia.

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