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A maior velocidade de rotação possível de um planeta é aquela para a qual a força gravitacional no equador é igual à força centrípeta. (Por quê?) (a) Mostre que o período de rotação correspondente é dado por:

T = 3 π G ρ

Onde ρ é a massa específica homogênea do planeta esférico. (b) Calcule o período de rotação supondo uma massa específica de 3,0   g / c m 3 , típica de muitos planetas, satélites e asteroides. Nunca foi observado um astro com um período de rotação menor que o determinado por esta análise.

Passo 1

A letra (a) quer uma demonstração para a fórmula para o período de rotação de um corpo sobre o equador de um planeta.

Bom, vamos ver a fórmula para a força gravitacional entre um planeta e uma pessoa na sua superfície:

F g = G M m R 2

Como essa força mantém a pessoa em uma trajetória circular (a rotação do planeta), podemos escrever o seguinte:

G M m R 2 = m v 2 R

Podemos usar essa igualdade para achar uma fórmula para o período.

Passo 2

Vamos cortar a massa da pessoa e o raio:

G M R = v 2

O período precisa aparecer aí, então vamos substituir com a fórmula que relaciona a velocidade e o período:

v = 2 π R T

G M R = 2 π R T 2

G M R = 4 π 2 R 2 T 2

Isolando o período:

T 2 = 4 π 2 R 3 G M

Agora a massa específica ρ precisa aparecer. Considerando que o volume de uma esfera é V = 4 3 π R 3 .

ρ = M V = M ( 4 3 π R 3 ) = 3 M 4 π R 3

Vamos isolar M para substituir de novo na fórmula:

M = 4 π R 3 ρ 3

E substituindo de novo na fórmula:

T 2 = 4 π 2 R 3 G 4 π R 3 ρ 3 = 3 π G ρ

T = 3 π G ρ

Pronto, chegamos na fórmula do enunciado.

Passo 3

A letra (b) pede pra calcularmos o valor do período para uma massa específica ρ = 3,0   g / c m 3 .

Antes de substituir na nossa fórmula, vamos converter a massa específica para k g / m 3 .

ρ = 3,0   . g m 3 = 3,0   . 10 - 3   k g 10 - 2   c m 3 = 3,0   .   10 3 k g m 3

Agora podemos substituir

T = 3 ( 3,14 ) ( 6,67.10 - 11 ) ( 3,0.10 3 ) = 6,9.10 3   s

Pronto, chegamos à resposta da letra (b).

Resposta

(a) Demonstração.

(b) T = 6,9.10 3   s

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