Enunciado

Uma massa de 200   g , presa a uma mola horizontal, oscila com uma freqüência de 2,0   H z . Em t =   0   s , a massa encontra-se em x =   5,0   c m , com v x =   - 30   c m / s . Determine:

a. O período.

b. A frequência angular.

c. A amplitude.

d. A constante de fase.

e. O valor máximo da velocidade.

f. A aceleração máxima.

g. A energia total.

h. A velocidade em t =   0,40   s .

Passo 1

As questões estavam muito rápidas, precisou-se dar uma incrementada nelas para que você tenha mais trabalho hahaha.

Começando pelo período, bem o enunciado nos dá a frequência então:

T = 1 f = 1 2 = 0.5   s

Passo 2

Para a letra b devemos nos atentar que velocidade angular e frequência angular são a mesma coisa é o ω , logo:

ω = 2 π f = 2 π ⋅ 2 = 4 π   r a d / s

Passo 3

Para a letra c nós devemos ter a ideia de que a amplitude pode ser encontrada pela conservação de energia da seguinte forma:

Como o centro geométrico do bloco está em A a velocidade do bloco é nula portanto:

1 2 k A 2 = 1 2 m v 2 + 1 2 k x 2

Então a amplitude será de:

A = m v 2 k + x 2

Substituindo os valores que conhecemos temos:

A = 0.2 × 30 × 10 - 2 2 k + 5 × 10 - 2 2

Com k sendo ω = k m → k = ω 2 m = 4 π 2 ⋅ 200 × 10 - 3 = 31.58   N / m

Aplicando na fórmula temos amplitude igual a:

A = 5.54   c m

Passo 4

A equação da posição dessa massa pode ser escrita como:

x = A c o s ω t + ϕ

Onde a constante de fase é dada por ϕ , portanto para t = 0 teremos:

x = A c o s ϕ

Onde para t = 0 temos x = 5   c m logo:

ϕ = cos - 1 ⁡ x A

ϕ = cos - 1 ⁡ 5 5.54 = 25.51 ° = 0.45   r a d

Passo 5

Agora o valor máximo da velocidade, da equação da posição temos que se derivarmos ela em relação ao tempo nós teremos a equação da velocidade:

v = - A ω   s e n ω t + ϕ

E como seno varia de - 1 até 1 então o valor máximo da velocidade se dará quando s e n ω t + ϕ = - 1 , logo:

v m a x = A ω

Substituindo os valores que conhecemos nós temos:

v m a x = 5.54 × 10 - 2 ⋅ 4 π = 0.7 m s = 70   c m / s

Passo 6

Já a equação da aceleração é encontrada derivando a equação da velocidade em relação a t ou seja:

a = - A ω 2 c o s ⁡ ( ω t + ϕ )

Onde a aceleração máxima se dará quando cos ⁡ ω t + ϕ = - 1 , portanto:

a m a x = A ω 2

Substituindo os valores teremos:

a m a x = 5.54 × 10 - 2 ⋅ 4 π 2 = 8.7   m / s 2

Passo 7

Agora a energia total pode ser vista como:

E t o t a l = 1 2 k A 2 = 1 2 m v m a x 2 = 1 2 k x 2 + 1 2 m v 2

Todas deverão ser iguais, pela amplitude nós teremos:

E t o t a l = 1 2 ⋅ 31.58 ⋅ 5.54 × 10 - 2 2 = 0.048   J

E pela velocidade máxima:

E t o t a l = 1 2 ⋅ 200 × 10 - 3 ⋅ 70 × 10 - 2 2 = 0.049   J

Quase a mesma coisa, erro de aproximação, vamos considerar que é 0.049   J pois dá para notar que pela velocidade máxima levamos menos erro.

Passo 8

Então a velocidade em t = 0.4   s será de:

v = - A ω   s e n ω t + ϕ

v = - 4 π ⋅ 5.54 × 10 - 2 s e n 4 π ⋅ 0.4 + 0.45 = - 0.72   m / s

Use sempre o valor em radianos

Resposta

a )   0.5   s

b )   4 π   r a d / s

c )   5.54   c m

d )   25.51 ° = 0.45   r a d

e )   70   c m / s

f )   8.7   m / s 2

g )   0.049   J

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