Enunciado

Os dois gráficos da FIGURA P14.33 representam dois diferentes sistemas massa-mola verticais.

a. Qual é a frequência do sistema A? Qual é o primeiro instante de tempo em que a massa apresenta velocidade máxima quando está se deslocando verticalmente para cima?

b. Qual é o período do sistema B? Qual é o primeiro instante de tempo em que a energia é inteiramente do tipo potencial?

c. Se os dois sistemas possuem a mesma massa, quanto vale a razão k A / k B entre suas constantes elásticas?

Passo 1

Em 12   s o sistema A oscila 3 vezes (tem três picos além do primeiro), então o período do sistema é de:

T = 12 s 3 [ o s c i l a ç õ e s ] = 4   s

Então sua frequência será de:

f = 1 T = 1 4 = 0.25   H z

E a velocidade máxima é sempre atingida quando a posição está em y = 0   m , e dividindo a linha do tempo direitinho vemos que:

A primeira vez que a onda A atravessa o eixo x e está subindo (que é o interesse da questão, pois note que ela até atravessa o eixo x porém ele está descendo) é em t = 3   s .

Uma vez que quando a energia potência se anula (que só ocorre em y = 0 , ou a deformação da mola sendo nula) temos a energia cinética sendo a energia mecânica do sistema (e esse é o valor máximo para a energia cinética)

Passo 2

Já para o sistema B temos duas oscilações em 12   s , então o período de uma oscilação se dará em 6   s .

E assim como temos a máxima velocidade quando o sistema cruza o eixo x , nós temos que os picos e os vales dessa função periódica são os momentos quando a energia potencial é máxima. Lembre-se da fórmula da energia potencial elástica, pois como vimos o sistema massa mola quando temos a massa na posição de amplitude a velocidade zera e a energia potencial chega no seu maior valor.

E pelo gráfico vemos que seu primeiro pico é em 1.5   s .

Passo 3

O período do sistema pode ser calculado como:

T A = 2 π   m A k A

E no sistema B :

T B = 2 π m B k B

Como m A = m B = m então 2 π m = C , com C sendo uma constante, logo:

T A = C k A ;       T B = C k B  

Igualando C nos dois lados:

T A k A = T B k B = C

E isso pode ser escrito como:

T A T B = k B k A

Arrumando pro que queremos para a letra c :

k A k B = T B T A 2

Porém dos passos anteriores vimos que T A = 4 e T B = 6 , então:

k A k B = 6 4 2 = 9 4

Resposta

a )   0.25   H z ; t = 3   s

b )   T = 6   s ; E p m á x → 1.5   s

c ) 9 4

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