Enunciado

A massa no final de um pêndulo simples de comprimento L é liberada do repouso a partir de um ângulo ϕ 0 . (a) Modele o movimento do pêndulo como movimento harmônico simples e encontre sua velocidade ao passar por ϕ = 0 usando a aproximação de ângulos pequenos. (b) Usando a conservação de energia, encontre essa velocidade exatamente para qualquer ângulo (não apenas pequenos ângulos). (c) Mostre que seu resultado do item (b) concorda com a resposta aproximada na Parte (a) quando ϕ 0 é pequeno. (d) Encontre a diferença entre os resultados aproximados e exatos para ϕ 0 = 0.20 r a d e L = 1.0 m . (e) Encontre a diferença entre os resultados aproximado e exato para ϕ 0 = 1 . 20 r a d e L = 1.0 m

Passo 1

Como a massa é liberada do repouso em ϕ 0 , ele será a amplitude do nosso movimento harmônico. Sabemos que a velocidade pode ser escrita em termos da velocidade angular como:

v = L d ϕ d t

Podemos escrever ϕ em termos da amplitude e do tempo:

ϕ = ϕ 0 c o s ω t

E a derivada dele será:

d ϕ d t = - ω ϕ 0 s e n ω t

A equação da velocidade então fica:

v = - L ω ϕ 0 s e n ω t

E a velocidade será máxima quando s e n ω t = ± 1 , ou seja, quando logo:

v m a x = L ω ϕ 0

E escrevendo a velocidade angular da seguinte maneira:

ω = g L

Ficamos com:

v m a x = L ϕ 0 g L = ϕ 0 g L

Passo 2

Para a letra (b) vamos usar a conservação de energia em dois pontos, onde a e energia cinética é máxima e o outro onde a energia potencial é máxima:

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

U 1 = K 2

E ficamos com:

1 2 m v m a x 2 - m g h = 0

v m a x = 2 g h

Observando a imagem abaixo, podemos perceber que a altura h pode ser escrita em termos da diferença entre o comprimento do fio quando ele estivesse em repouso com o comprimento quando ele está na posição de amplitude ϕ 0 :

h então será:

h = L -   L c o s ϕ 0

Substituindo na equação da velocidade máxima:

v m a x = 2 g L ( 1 - c o s ϕ 0 )

Passo 3

Quando ϕ 0 é pequeno, podemos fazer 1 - c o s ϕ 0 ≈ 1 2 ϕ 0 2 , e substituir na equação da velocidade máxima do passo 2:

v m a x = 2 g L 1 2 ϕ 0 2

Que ficará:

v m a x = ϕ 0 g L

Que é o mesmo resultado do Passo 1, o que responde a letra (c).

Passo 4

Vamos agora responder a (d), basta fazermos a diferença entre a aproximação e o valor exato da velocidade máxima e então fazemos a razão dessa diferença pelo valor exato para sabermos se o desvio entre as duas maneiras de resolvermos é grande:

∆ v = ϕ 0 g L - 2 g L ( 1 - c o s ϕ 0 )

∆ v = g L ϕ 0 - 2 ( 1 - c o s ϕ 0 )

Substituindo os valores:

∆ v = 9.81 m s 2 ( 1.0 m ) 0.20 r a d - 2 ( 1 - c o s ⁡ ( 0.20 r a d ) = 1   m m / s

E a razão será:

∆ v v m a x = 1.7   ×   10 - 3

Passo 5

A letra (e) pede apenas para mudarmos os valores na equação da velocidade, e compararmos novamente os dois casos, vamos calcular então ∆ v :

∆ v = 9.81 m s 2 ( 1.0 m ) 1 . 20 r a d - 2 ( 1 - c o s ⁡ ( 1 . 20 r a d ) ≈ 0.2 m / s

E a razão:

∆ v v m a x ≈ 5.9 × 10 - 2

Resposta

( a ) v m a x = ϕ 0 g L

( b ) v m a x = 2 g L ( 1 - c o s ϕ 0 )

( d ) ∆ v v m a x ≈ 1.7   ×   10 - 3

( e ) ∆ v v m a x ≈ 5.9 × 10 - 2

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