Enunciado

Suponha que um pêndulo simples é formado por um pequeno peso de 60,0 g pendurado na extremidade de uma corda de massa desprezível. Se o ângulo θ entre a corda e a vertical é dado por

θ = 0,0800   rad cos ⁡ 4,43 rad / s t + ϕ

qual é (a) o comprimento da corda e (b) a energia cinética máxima do peso?

Passo 1

Show de bolinha pessoal, sabendo a frequência angular de oscilação do pêndulo, a gente consegue determinar o comprimento dele só aplicando a equação da frequência angular para pêndulos com massa concentrada na ponta dada como:

ω = g L

Isolando o comprimento L , obtemos:

ω 2 = g L

L = g ω 2

Portanto, substituindo os valores que o enunciado fornece pra gente:

L = 9,8 m / s 2 4,43 rad / s 2

L = 0,499   m

Passo 2

Show de bolinhas, agora pra gente encontrar a energia cinética máxima do peso, precisamos saber qual a máxima velocidade que ele atinge. Pra isso, podemos usar a equação da posição angular:

θ = 0,0800   rad cos ⁡ 4,43 rad / s t + ϕ

De forma que sua derivada, representa a velocidade angular ω :

ω = d θ d t

Que se relaciona com a velocidade v , através da expressão:

v = ω r

Onde r é o raio do movimento, que no nosso caso é dada como r = L , sendo assim a velocidade pode ser dada através da equação:

v = L d θ d t

Então derivando a função da posição, obtemos que a velocidade será:

v t = - L 4,43 rad / s 0,0800   rad sin ⁡ 4,43 rad / s t + ϕ

O módulo da velocidade máxima atingida por ele ocorre quando o valor do seno na equação acima é máximo, de forma que:

v m á x = L 4,43 rad / s 0,0800   rad

v m á x = 0,499   m 4,43 rad / s 0,0800   rad

Logo a energia cinética máxima será:

K m á x = 1 2 m v m á x 2

K m á x = 1 2 0,0600   kg 0,499   m 4,43 rad / s 0,0800   rad 2

K m á x = 9,40 × 10 - 4   J

Resposta

K m á x = 9,40 × 10 - 4   J

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