Enunciado

Considere os três núcleos indicados no Exercício 43.1, Estime para cada um esses núcleos (a) o raio, (b) a área superfícial e (c) o volume. Determine para cada um desses núcleos (d) a massa específica (em k g / m 3 ) e (e) a densidade de núcleons (em número de núcleons por metro cúbico). Suponha que a massa para cada um desses núcleos seja A unidades de massas atômicas.

Passo 1

(a) Vamos começar lembrando quais são os núcleos indicados no exercício 43.1, e quais eram as massas atômicas dos núcleos.

Os núcleos eram S i 14 28 , R b 37 85 , T l 81 205 , então as massas desses núcleos (em unidades de massas atômicas) são:

A S i = 28

A R b = 85

A T l = 205

E para calcular os raios dos núcleos, nós podemos usar essa fórmula aqui:

R = 1,2   f m A 1 / 3

Onde f m é um femtômetro, ou 10 - 15 metros. Então os raios são:

R S i = 1,2   f m 28 1 / 3 = 3,6   f m

R R b = 1,2   f m 85 1 / 3 = 5,3   f m

R T l = 1,2   f m 205 1 / 3 = 7,1   f m

Pronto!

Passo 2

(b) Para a área de superfície, a gente pode aproveitar as estimativas que fizemos para os raios!

Se o núcleo se parece muito com uma esfera, então a área de superfície é bem próxima disso aqui:

S = 4 π R 2

Agora é só calcular:

S S i = 4 π 3,6   f m 2 = 163   f m 2

S R b = 4 π 5,3   f m 2 = 353   f m 2

S T l = 4 π 7,1   f m 2 = 633   f m 2

Essas são as áreas de superfícies dos núcleos.

Passo 3

(c) E agora o volume pode ser calculado com a mesma lógica. O volume de uma esfera é:

V = 4 3 π r 3

Então:

V S i = 4 π 3 3,6   f m 3 = 195   f m 3

V R b = 4 π 3 5,3   f m 3 = 624   f m 3

V T l = 4 π 3 7,1   f m 3 = 1499   f m 3

Resolvido!

Passo 4

(d) Para encontrar a massa específica só precisamos dividir as massas pelos volumes!

ρ = m V

Mas cuidado, queremos a resposta em quilogramas por metros cúbicos:

ρ S i = 28   u . a . 195   f m 3 = 28   1,66 × 10 - 27 195 10 - 15 3 = 2,3 × 10 17   k g / m 3

Beleza. A gente pode parar por aqui! A densidade vai ser a mesma nos três casos, já que os três núcleos são feitos da mesma coisa!

Mas por via das dúvidas, podemos calcular para os outros dois também:

ρ R b = 85   u . a . 624   f m 3 = 85   1,66 × 10 - 27 624 10 - 15 3 = 2,3 × 10 17   k g / m 3

ρ T l = 205   u . a . 1499   f m 3 = 205   1,66 × 10 - 27 1499 10 - 15 3 = 2,3 × 10 17   k g / m 3

Passo 5

(e) Agora queremos a densidade em número de núcleons (prótons e nêutrons) por metro cúbico.

Bom, no item de cima, nós vimos que a densidade de todos os núcleos é:

ρ = 2,3 × 10 17   k g / m 3

Como cada núcleon corresponde a uma unidade de massa atômica. O número de núcleos por metro cúbico é:

n = ρ m

n = 2,3 × 10 17   k g / m 3 1,66 × 10 - 27   k g = 1,4 × 10 44   1 m 3

Pronto!

Resposta

(a) Os raios são 3,6   f m , 5,3   f m e 7,1   f m .

(b) As áreas de superfície são 163   f m 2 , 353   f m 2 e 633   f m 2 .

(c) Os volumes são 195   f m 3 , 624   f m 3 e 1499   f m 3 .

(d) A densidade em todos os casos é 2,3 × 10 17   k g / m 3 .

(e) A densidade em número é 1,4 × 10 44 / m 3 .

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