Enunciado

O módulo de bulk B de um material pode ser definido por B = −V ∂P ∂V. (a) Use a relação gás ideal monoatômica PV = 23 NEav, onde Eav é a energia cinética média, Equação 38-22 e Equação 38-23 para mostrar que P = 25 NEF V = CV −5 / 3, onde C é uma constante independente de V. (b) Mostre que o módulo de bulk dos elétrons livres em um metal sólido é, portanto, 3 F VNEPB 2 35 ==. (c) Calcule o módulo de bulk em newtons por metro quadrado para os elétrons livres em uma amostra de cobre e compare seu resultado com o valor medido de 140 × 109 N / m2.

Passo 1

(a) Cara, quando o próprio enunciado sugere algo, nem duvide hahah vamos usar o que ele falou. Então, temos para um gás monoatômico:

P V = 2 3 N E m é d

Como E m é d = 3 5 E F :

P V = 2 3 N 3 5 E F

P = 2 5 N V E F

Onde a energia de Fermi é dada por:

E F = h 2 8 m e 3 N π V 2 3

E F = h 2 8 m e 3 N π 2 3 V - 2 3

Substituindo isso:

P = 2 5 N V h 2 8 m e 3 N π 2 3 V - 2 3

Vamos arrumar:

P = 2 5 N V ( N 2 3 ) V - 2 3 h 2 8 m e 3 π 2 3

P = 2 5 N 5 3 V 5 3 h 2 8 m e 3 π 2 3

P = N 5 3 h 2 20 m e 3 π 2 3 V - 5 3

Como N 5 3 h 2 20 m e 3 π 2 3 é um termo constante, faremos C = N 5 3 h 2 20 m e 3 π 2 3 :

P = C V - 5 3

Mostrado!!

Passo 2

(b) Bem, o módulo de bulk é dado por:

B = - V d P d V

Assim:

B = - V d C V - 5 3 d V

Derivando:

B = 5 3 V C ( V - 8 3 )

B = 5 3 C V - 5 3

Voltando com P = C V - 5 3 :

B = 5 3 P

Substituindo P = 2 5 N V E F :

B = 5 3 2 5 N V E F

Assim:

B = 2 3 N E F V

Prontinho!!

Passo 3

(c) Agora, só precisamos substituir os valores na equação da letra anterior, passando E F de elétron-volt para joule e passando de c m para m :

B = 2 3 8,47 × 10 22   e l e t r o n s / c m 3 7,04   e V 1,602 × 10 - 19   J / e V 10 - 6

B = 63,6   G N / m 2

Passo 4

E comparar o resultado com o B C u da tabela 13-2, que é 140   G N / m 2 . Encontrando a razão entre os dois:

B B C u = 63,6   G N / m 2 140   G N / m 2 = 0,454

Ou seja, B = 0,454 B C u

Resposta

(a) Explicação no passo a passo.

(b) Explicação no passo a passo.

(c) B = 0,454 B C u

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