Enunciado

Uma molécula diatômica hipotética de oxigênio ( m a s s a = 2,656 × 10 - 26 k g ) e hidrogênio ( m a s s a = 1,67 × 10 - 27 k g ) emite um fóton de comprimento de onda 2,39 μ m quando efetua uma transição de um estado vibracional até o próximo estado inferior. Se modelarmos essa molécula como duas massas puntiformes em extremidades opostas de uma mola sem massa,

  1. Qual é a constante dessa mola?
  2. Quantas vibrações por segundo a molécula efetua?

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos começar?

Letra a)

A energia vibracional é em termos do número quântico n e pode ser calculado da seguinte forma:

E n = n + 1 2 ℏ ω

Mas como a molécula pode ser modelada como um sistema massa mola, a frequência angular de oscilação está relacionada com a constante da mola, certo? E se você lembrar lá de mecânica, a relação é bem facinha, é essa aqui ó:

ω = k / m

Mas aqui duas diferenças: a constante da mola vai chamar k ' e a massa é a massa reduzida da molécula diatômica m r e essa última é dada pela expressão 42.6 do livro texto:

m r = m 1 m 2 m 1 + m 2

Onde as massas m 1 e m 2 são as massas da molécula, certo?

Passo 2

Para dois estados consecutivos, por exemplo, n i = 1 e n f = 2 , a variação de energia Δ E vai ser assim ó:

Δ E = 2 + 1 2 ℏ ω - 1 + 1 2 ℏ ω = ℏ ω

E essa é a energia do fóton que queremos! Por outro lado, a energia do fóton emitido se relaciona com o comprimento e onda λ também:

Δ E = h c λ

E igualando à ℏ ω temos:

h c λ = ℏ ω = h ω 2 π

2 π c λ = ω

E substituindo ω pela expressão k ' / m r temos:

2 π c λ = k ' m r    

Temos por fim uma expressão para a constante da mola k ' em função das quantidades que temos: massas das moléculas e o comprimento de onda do fóton emitido! Agora precisamos isolar esse k ' e substituir todos os valores, borá lá?

2 π c λ 2 = k ' m r

k ' = m r 2 π c λ 2 = m 1 m 2 m 1 + m 2 2 π c λ 2

Vou chamar m 1 = m O e m 2 = m H daí temos:

k ' = m O m H m O + m H 2 π c λ 2

Pronto! Agora é só substituir todos esses valores e jogar na calculadora!

k ' = ( 2,656 × 10 - 26 ) ( 1,67 × 10 - 27 ) ( 2,656 × 10 - 26 ) + ( 1,67 × 10 - 27 ) 2 π . 3 × 10 8 2,39 × 10 - 6 2

k ' = 977 N / m

Passo 3

Letra b)

E quanto à frequência f ? Bom, como o fóton é uma onda eletromagnética, a velocidade dela é a da luz. E sabemos de outros carnavais que c = λ f . O comprimento de onda é o mesmo e vale 2,39 × 10 - 6 m e a velocidade da luz é c = 3 × 10 8 m / s , agora é só substituir:

f = c λ = 3 ×   10 8 2,39 × 10 - 6 = 1,25 × 10 14 H z

Certo? Vamos pra próxima questão? =D

Resposta

a )   977 N / m

b )   1,25 × 10 14 H z

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