Enunciado

Uma montagem experimental de seu laboratório de física consiste em dois deslizadores sobre um trilho de ar horizontal sem atrito (figura abaixo). Cada deslizador carrega, sobre si, um forte ímã, e os ímãs estão orientados de forma a se atraírem mutuamente. A massa do deslizador 1 , com seu ímã, é 0,100   k g , e a massa do deslizador 2 , com seu ímã, é 0,200   k g . Você e seus colegas são instruídos a tomarem como origem a extremidade da esquerda do trilho e a centrarem o deslizador 1 em x 1 = 0,100   m e o deslizador 2 em x 2 = 1,600   m . O deslizador 1 tem um comprimento de 10,0   c m , enquanto o comprimento do deslizador 2 é 20,0   c m , e cada deslizador tem o centro de massa localizado em seu centro geométrico. Quando os dois deslizadores são largados a partir do repouso, eles se movem até se encontrarem e grudarem um no outro.

(a) Determine a posição do centro de massa de cada deslizador no momento em que eles se tocam.

Passo 1

Como não há forças externas atuando no sistema, o centro de massa do sistema composto pelos dois deslizadores não se move. Portanto, podemos calcular pela definição o seu centro de massa inicialmente e aplicar a definição uma segunda vez para relacionar as posições x 1 e x 2 de cada carro quando eles se tocarem.

Passo 2

Vamos usar a definição de centro de massa como:

x C M =   m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2

Substituindo os valores numéricos nas respectivas variáveis e calculando x C M , temos:

x C M =   0,100   k g 0,100   m + ( 0,200   k g ) ( 1,600   m ) 0,100   k g + 0,200   k g

x C M = 1,10   m

É claro, localizado a partir da extremidade esquerda da plataforma

Passo 3

Como o centro de massa não se moveu após o primeiro contato, então:

1,10   m =   m 1 X 1 +   m 2 X 2 m 1 +   m 2

Onde X 1 e X 2 são as posições do centro de massa de cada deslizador. Substituindo os valores nos resulta em:

1,10   m =   ( 0,100   k g ) X 1 + ( 0,200   k g ) X 2 ( 0,300   k g )

1,10   m =   1 3 X 1 +   2 3 X 2  

X 1 +   2 X 2 = 3,30   ( I )

Porém, quando os deslizadores se tocam a primeira vez, seus centros de massa estão separados por metade da soma de seus comprimentos:

X 2 -   X 1 =   1 2 10,0   c m + 20,0   c m

X 2 -   X 1 = 0,150   m   ( I I )

Com as equações ( I ) e ( I I ) montamos o seguinte sistema, e o resolvemos:

X 1 +   2 X 2 = 3,30     m         X 2 -   X 1 = 0,150   m            

3 X 2 = 3,45   m X 2 = 1,15   m    

X 2 -   X 1 = 0,150   m            

1,15   m -   X 1 = 0,150   m            

X 1 = 1,00   m

Logo, os valores do nosso centro de massa são:

X 1 = 1,00   m e X 2 = 1,15   m

Resposta

As posições do centro de massa de cada deslizador após eles se tocarem são:

X 1 = 1,00   m e X 2 = 1,15   m

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