Enunciado

27. A força que atua sobre um corpo é dada por   F x = a / x 2   . Em x = 5,0 m , sabe-se que a força aponta no sentido - x e tem uma magnitude de   25,0   N . Determine a energia potencial associada a esta força como função de x , assumindo que atribuímos um valor de referência de - 10,0 J em x = 2,0 m para a energia potencial.

Passo 1

Como primeiro passo inicial, é necessário analisar a relação que existe entre trabalho e energia potencial, na direção especificada. Sabe-se que F x é definida como o negativo da derivada da função de energia potencial em relação a x ,ou seja, F x = - d U / d x . Consequentemente, dado F em função de x , podemos encontrar U integrando F x em relação a x . A aplicação da condição em F x nos permitirá determinar o valor de a e usar o fato de que a energia potencial é - 10,0   J   em x = 2,00 m ,consequentemente nos fornecendo assim, o valor de   U 0 .

F x = - d U d x

Trabalhando com a equação diferencial, chega-se a:

d U = - F x d x

Em seguida integram-se ambos os membros:

∫ d U = ∫ - F x d x

U x = - ∫ a x 2 d x

U x = - a x - 2 + 1 - 2 + 1 + C

O termo C , nada mais é do que a constante de integração da integral indefinida, que dentro do nosso problema representa o valor inicial da função para quando x = 0 . Ou seja, esse C na verdade é a energia potencial inicial   U 0 .

U x = a x +   U 0   ( 1 )

Passo 2

O próximo objetivo agora, é determinar o valor de a , dada que F x na posição x = 5,0 m é igual a - 25,0 N , uma vez que aponta no sentido negativo do eixo x . Assim:

F x 5,0 m = - 25,0 N

a ( 5,0 m ) 2 = - 25,0 N

a = - 625 N ∙ m ²

Passo 3

Finalmente encontrado o valor de a , resta apenas substituí-lo na equação de energia potencial obtida em ( 1 ) , aplicando a condição de que U na posição x = 2,0 m é igual a - 10,0   J . Assim obtem-se o valor de   U 0 .

U x = a x +   U 0

- 10,0   J = - 625 N ∙ m ²   2 m +   U 0

  U 0 = - 10,0 J + 312,5 J

  U 0 = 302,5 J ≈ 303 J

Portanto:

U x = - 625 N ∙ m 2 x + 303 J

Resposta

U x = - 625 N ∙ m 2 x + 303 J

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