Enunciado

Mostre que o número de estados com o mesmo número quântico n é 2 n 2 .

Passo 1

Sabemos que para um dado número quântico n temos as seguintes possibilidades para l :

l = 0,1 , … ,   n - 1

E esses estados possuem o mesmo valor de n .

E para cada valor de l teremos 2 ( 2 l + 1 ) estados com mesmo valor de n .

Passo 2

Assim, o número de estados N com o mesmo valor de n vai ser a soma de estados possíveis de l :

N = 2 ∑ l = 0 n - 1 ( 2 l + 1 )

Agora temos que ver uma correlação entre l e n . Vamos observar alguns valores, saca só:

  • Para n = 1 temos o único valor de l = 0 :
  • N = 2 2.0 + 1 = 2.1

  • Para n = 2 temos os valores de l = 0 e l = 1 :
  • N = 2 2.0 + 1 + ( 2.1 + 1 ) = 2 . 1 + 3 = 2.4

  • Para n = 3 temos os valores de l = 0 , l = 1 e l = 2 :
  • N = 2 2.0 + 1 + 2.1 + 1 + ( 2.2 + 1 ) = 2 . 1 + 3 + 5 = 2.9

  • Para n = 4 temos os valores de l = 0 , l = 1 , l = 2 e l = 3 :

N = 2 2.0 + 1 + 2.1 + 1 + 2.2 + 1 + ( 2.3 + 1 ) = 2 . 1 + 3 + 5 + 7 = 2.16

Sacou o padrão?

Para cada acréscimo no valor de n temos 2 . n 2 estados com mesmo valor de energia!

Para n = 2 , temos 2.4 = 2 . ( 2 2 ) estados, para n = 3 , temos 2.9 = 2 . ( 3 2 ) estados, assim por diante.

Passo 3

Assim temos que para um mesmo valor de n , existem 2 n 2 estados com mesma energia.

Resposta

2 n 2

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