Enunciado

Uma nave espacial cilíndrica, de massa M e comprimento L , está flutuando no espaço sideral. Seu centro de massa, que podemos tomar como o seu ponto médio, é adotado como origem O das coordenadas, com O x ao longo do eixo do cilindro. (a) no instante t = 0 , um astronauta dispara uma bala de revólver de massa m e velocidade v ao longo o eixo, da parede esquerda até a parede direita, onde fica encravada. Calcule a velocidade V de recuo da nave espacial. Suponha que m ≪ M , de modo que M ± m = M . (b) Calcule o recuo total Δ X da nave, depois eu a bala atingiu a parede direita. Exprima-o em função do momento p transportado pela bala, eliminando da expressão a massa m . (c) Calcule o deslocamento Δ x do centro de massa do sistema devido à transferência da massa m da extremidade esquerda para a extremidade direita da nave. (d) Mostre que Δ X + Δ x = 0 e explique por que este resultado tinha necessariamente de ser válido. (e) Suponha agora que o astronauta, em lugar de um revólver, dispara um canhão de luz laser. O pulso de radiação laser, de energia E , é absorvido na parede ireita, convertendo-se em outras formas de energia (térmica, por exemplo). Sabe-se que a radiação eletromagnética, além de transportar energia E , também transporta momento p , relacionado com E por p = E / c , onde c é a velocidade da luz. Exprima a resposta do item (b) em termos de E e c , em lugar de p . (f) Utilizando os itens c e d, conclua que a qualquer forma de energia E deve estar associada uma massa inercial m , relacionada com E por E = m c 2 . Um argumento essencialmente idêntico a este, para ilustrar a inercia da energia, foi formulado por Einstein.

Passo 1

  1. Da conservação da quantidade de movimento, vamos obter:
  2. m v + M + m v r e c u o = 0

    v r e c u o = - m v M + m

    Como M ≫ m :

    v r e c u o ≈ - m v M

    Passo 2

  3. A distância percorrida é igual à velocidade vezes o tempo, então:
  4. v r e c u o Δ t = Δ X = - m v M Δ t

    Essa expressão m v é o momento linear p que ele deu! Além disso, o tempo é a distância percorrida dividida pela velocidade.

    Δ X = - p M L v

    Δ X = - p L M v

    Passo 3

  5. Aqui vou responder a (d) junto! O centro de massa não se move por causa de forças internas! Então a soma Δ x + Δ X = 0 por esse simples argumento! O quanto se move a nave tem que compensar o quanto se moveria o centro de massa, sacou? Então vai ficar:

Δ x = - Δ X

Δ x = p L M v

Δ x = m v L M v

Δ x = m L M

Passo 2

  1. É só a gente substituir v por c e p por E c !

Δ X = - p L M v = - E c L M c

Δ X = - E L M c 2

Passo 3

Comparando o último resultado com a letra (c):

Δ X = - Δ x

- E L M c 2 = - m L M

E = m c 2

Resposta

  1. v r e c u o ≈ - m v M
  2. Δ X = - p L M v
  3. Δ x = m L M
  4. O centro de massa não se move.
  5. Δ X = - E L M c 2
  6. E = m c 2
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