Enunciado

Um sistema possui duas partículas. No instante t = 0 uma das partículas está na origem; a outra, com massa igual a 0,50 kg, está sobre o eixo Oy no ponto y = 6,0 m. Para t = 0, o centro de massa do sistema está sobre o eixo no ponto y   =   2,4   m . A velocidade do centro de massa do sistema é dada por ( 0,75   m / s ³ ) t ² î .

a) Calcule a massa total do sistema.

b) Ache a aceleração do centro de massa em função do tempo.

c) Calcule a força externa resultante que atua sobre o sistema no instante t = 3,0 s.

Passo 1

Beleza pessoal?! Espero que esteja tudo bem com meu os herdeiros de Newton. Vamos dar início a mais uma resolução com o padrão de qualidade do Responde aí, então pegue seu lápis, caderno e café e vamos nessa!!!

Temos duas partículas onde, em t=0, a posição da primeira partícula é r⃗1=0, a massa da segunda partícula é m2​=0,50 kg, sua posição é r 2   =   6.0 ĵ e a posição do centro de massa é r c m   =   2.4   ĵ   m .

Temos também a velocidade do centro de massa em função do tempo é dada por:

v c m   =   0.75   t ² î

Sabemos que o vetor posição do centro de massa de um sistema de partículas é dado por:

r c m   =   ∑ m i r i ∑ m i   ( 1 )

Onde i indica a partícula do i.

Também sabemos que, se a força externa líquida sobre um sistema de partículas não for zero, o centro de massa acelera como se fosse uma partícula de massa M sob a ação da mesma força externa líquida;

Então, de acordo com a segunda lei de Newton, a força externa resultante em um sistema é dada por:

∑ F e x t   =   M a c m   ( 2 )

Passo 2

a) Primeiro, aplicamos a equação (1) ao sistema das duas partículas, então obtemos:

r c m   = m 1 r 1 + m 2 r 2 m 1 + m 2

2.4 ĵ = m 1 ( 0 ) + ( 0.50 ) ( 6.0 ĵ ) m 1 + m 2

M = m 1 + m 2 = 0.50 ∙ 60 2.4 = 1.25   k g

E assim, a massa da primeira partícula é:

m 1 = M - m 2 = 1.25 - 0.50 = 0.75   k g

b) Sabemos, do capítulo (2), que a aceleração instantânea é a primeira derivada da velocidade em relação ao tempo, então a aceleração do centro de massa do sistema é:

a c m = d v c m d t = d d t [ ( 0.75 t ² ) î ]

= ( 2 ) ( 0.75 t ) î = 1.5 t î

c) Substituímos t = 3,0 s na equação (3) para obter a aceleração do centro de massa neste momento:

a c m | t = 3.0   =   ( 1.5 ) ( 3.0 ) î   =   4.5   m / s ² î

Agora, substituímos nossos valores por M e a c m | t = 3.0 ​ na equação (2), então obtemos:

∑ F e x t = ( 1.25 ) ( 4.5 î ) = 5.625   N   î

Resposta

  1. m 1 = 0.75   k g
  2. a c m   = 1.5   t   m / s ³   î
  3. ∑ F e x t = 5.625   N   î

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