Enunciado

Uma nave exploratória larga dois pequenos robôs sondas sobre a superfície de uma estrela de nêutrons. A massa da estrela é a mesma do Sol, mas seu diâmetro é de apenas 10   k m . As sondas estão ligadas entre si por um cabo de aço de 1,0   m (contendo linhas de comunicação entre os robôs) e são largadas verticalmente (isto é, uma sempre acima da outra). A nave paira em repouso acima da superfície da estrela. Como engenheiro chefe da nave, você está preocupado com a possibilidade de a comunicação entre as duas sondas, ponto crucial da missão, ser interrompida. (a) Faça um resumo de seu informe ao comandante da missão, explicando a existência de uma “força tensionadora” que tentará afastar os robôs à medida que eles caem na estrela. (b) Suponha que o cabo utilizado tenha uma tensão de ruptura de 25   k N e que os robôs possuam, cada um, uma massa de 1,0   k g . Quão próximo da superfície da estrela os robôs podem chegar antes que o cabo se rompa?

Passo 1

Seja M a massa da estrela de nêutrons e m a massa de cada robô. Podemos usar a lei da gravitação de Newton para expressar a diferença entre as forças sendo aplicadas em cada robô e daí teremos a tensão que está acontecendo no cabo de aço

Passo 2

Para a letra (a), poderíamos resumir a situação dizendo que a força será maior no robô de baixo e daí se não houvesse um cabo ligando os dois, eles se separariam. Em oposição a essa separação, o cabo exerce uma força de tensão.

Passo 3

Para a letra (b) vamos ter que determinar essa força no cabo. Como dizemos na letra (a), a força de tração no cabo será dada pela diferença entre a força gravitacional no robô de baixo e no robô superior. Então:

F C a b o = G M m r 2 - G M m r + Δ r 2

Onde Δ r a separação dos dois robôs.

Agora é só na munheca! Vamos isolar o r :

F C a b o = G M m 1 r 2 - 1 r 2 1 + Δ r r 2

F C a b o = G M m r 2 1 - 1 1 + Δ r r 2

Passo 4

Se fossemos desenvolver aquele binômio no denominador, não conseguiríamos isolar o r como queremos :/. Vamos fazer uma aproximação e considerar o seguinte:

1 - 1 + Δ r r - 2 ≈ 1 - 1 - 2 Δ r r = 2 Δ r r

Substituindo isso na fórmula que temos:

F C a b o ≈ 2 G M m r 3 Δ r

Agora é só isolar o r :

r = 2 G M m F C a b o Δ r 3

Agora vamos substituir os valores numéricos e avaliar r quando a força no cabo está no limite de rompê-lo, ou seja F C a b o = 25   k N

r = 2 6.67 ∙ 10 - 11   m 3 k g - 1 s - 2 1.99 ∙ 10 30   k g 1.0   k g 25   k N 1.0   m 3 = 2.2 ∙ 10 5   m

Resposta

2.2 ∙ 10 5   m

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