Enunciado

Nesse problema exploramos alguns dos teoremas (utilizados sem prova) mais úteis que envolvem os polinômios de Hermite.

d) H n ξ é a n-ésima derivada em z , em z = 0 , da função geradora e x p ⁡ ( - z 2 + 2 z ξ ) ; ou, em outras palavras, é o coeficiente de z n / n !   a expansão da série de Taylor para essa função:

e - z 2 + 2 z ξ = ∑ n = 0 ∞ z n n ! H n ( ξ )  

Use isso para reobter H 0 , H 1 e H 2 .

Passo 1

Assumindo como verdadeira a informação dada no enunciado, vamos tomar a primeira e a segunda derivada com respeito a z   da função f ( x , ξ ) = e - z 2 + 2 z ξ :

∂ f ( z , ξ ) ∂ z = 2 ξ - 2 z e - z 2 + 2 z ξ

∂ 2 f ( z , ξ ) ∂ z 2 = 2 ξ - 2 z 2 - 2 e - z 2 + 2 z ξ

Passo 2

Com posse dessas derivadas, podemos montar facilmente as funções de Hermite! Como as funções são as derivadas de f aplicadas em z = 0 , vem para as funções:

H 0 ξ = f ( 0 , ξ )

H 1 ξ = ∂ f ( 0 , ξ ) ∂ z

H 2 ξ = ∂ 2 f ( 0 , ξ ) ∂ z 2

Ou seja:

H 0 ( ξ ) = 1

H 1 ξ = 2 ξ

H 2 ξ = 4 ξ 2 - 2

Como você pode consultar na tabela existente no próprio livro! 😊

Resposta

H 0 ( ξ ) = 1

H 1 ξ = 2 ξ

H 2 ξ = 4 ξ 2 - 2

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