Enunciado

Uma partícula no potencial do oscilador harmônico está no estado

Ψ x , 0 = A 3 ψ 0 ( x ) + 4 ψ 1 ( x )

c) Calcule ⟨ x ⟩ e ⟨ p ⟩ . Não se empolgue muito se eles oscilarem na frequência clássica; o que poderia ter acontecido se eu tivesse especificado ψ 2 x em vez de ψ 1 x ? Verifique o que o teorema de Ehrenfest (Equação 1.38 ) guarda para essa função de onda.

Passo 1

Vamos calcular o valor esperado da posição com o resultado do item anterior:

⟨ x ⟩   = 1 25 9 ∫ - ∞ + ∞ x ψ 0 2 d x + 16 ∫ - ∞ + ∞ x ψ 1 2 d x + 24 cos ⁡ ω t ∫ - ∞ + ∞ x   ψ 0 ψ 1 d x

Como vimos na questão 2.11 , as duas primeiras integrais se anulam, pois o integrando é uma função ímpar. Com isso, nos resta:

⟨ x ⟩   = 24 25 cos ⁡ ω t m ω π ℏ 2 m ω ℏ   ∫ - ∞ + ∞ x e - m ω 2 ℏ   x 2   x e - m ω 2 ℏ   x 2   d x

Simplificando, chegamos em:

⟨ x ⟩   = 24 25 cos ⁡ ω t 2 π   m ω ℏ   ∫ - ∞ + ∞ x 2 e - m ω 2 ℏ   x 2 d x

Mais uma vez, nos deparamos com uma integral Gaussiana. Resolvendo, chegamos em:

⟨ x ⟩   = 24 25   ℏ 2 m ω   c o s ⁡ ( ω t )

Ou seja, o valor esperado da partícula oscila com frequência ω em torno da origem.

Passo 2

A partir do resultado obtido, para o momento, temos:

⟨ p ⟩   = m d ⟨ x ⟩ d t →   ⟨ p ⟩   = - 24 25   m ℏ ω 2 sen ⁡ ( ω t )

Passo 3

Caso, em vez de termos ψ 1 , tivéssemos ψ 2 , a frequência de oscilação da partícula passaria a ser:

Ω = E 2 - E 0 ℏ = 2 ω

Então o fato de a partícula oscilar coma frequência clássica é uma coincidência.

Passo 4

Vamos verificar o teorema de Ehrenfest. A relação a qual o enunciado faz referência é a seguinte:

d ⟨ p ⟩ d t = -   ∂ V ∂ x

Assim, vamos calcular cada um independentemente e ver se a igualdade é verdadeira. Para o primeiro termo:

d p d t = - 24 25 ω m ℏ ω 2 cos ⁡ ( ω t )

Já para o segundo, vem:

V x = 1 2   m ω x 2 → ∂ V ∂ x = m ω x  

Com isso:

∂ V ∂ x   =   m ω ⟨ x ⟩   →   ∂ V ∂ x   =   24 25 ω m ℏ ω 2 cos ⁡ ( ω t )  

Ou seja, pode-se notar facilmente que a igualdade se mantém válida!

Resposta

⟨ x ⟩   = 24 25   ℏ 2 m ω   c o s ⁡ ( ω t )

⟨ p ⟩   = - 24 25   m ℏ ω 2 sen ⁡ ( ω t )

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