Enunciado

Os núcleos de um isótopo radioativo, que tem uma constante de decaimento λ , são produzidos num acelerador a uma taxa constante R p . O número de núcleos radiativos N obedecem à equação d N d t = R p - λ N .

  1. Se N for zero em t = 0 , faça um gráfico de N contra t para essa situação.
  2. O isótopo de C u 62 é produzido a uma taxa de 100 por segundo, colocando cobre comum C u 63 num feixe de fótons de alta energia. A reação é:

γ + C u 63 → C u 62 + n  

O isótopo de C u 62 decai por decaimento β e tem uma meia vida de 10   m i n . Depois de um tempo longo suficiente, tal que d N / d t ≈ 0 , quantos núcleos de C u 62 ainda existem?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Letra (a):

A equação diferencial é:

d N d t = R p - λ N

Agora vamos fazer a separação de variáveis, tudo que depende de N de um lado e tudo que depende do tempo do outro:

d N = R p - λ N d t

d N R p - λ N = d t

E agora podemos integrar dos dois lados:

∫ 0 N d N ' R p - λ N ' = ∫ 0 t d t '

- 1 λ ln ⁡ R p - λ N 0 N = t

- 1 λ ln ⁡ R p - λ N + 1 λ ln ⁡ R p = t

t = 1 λ ln ⁡ R p R p - λ N

E isolando N temos:

t λ = ln ⁡ R p R p - λ N

N = R p λ 1 - e - λ t

E usando um programa pra plotar um gráfico de N versus t obtemos:

Passo 2

Letra (b):

Quando d N d t = 0 da equação diferencial temos:

0 = R p - λ N

N ∞ = R p λ

A constante de decaimento λ está relacionada com o tempo de meia vida:

λ = ln ⁡ 2 t 1 / 2

E substituindo em N ∞ temos:

N ∞ = R p t 1 2 ln ⁡ 2 = 100 s - 1 ln ⁡ 2 10 m i n × 60 s = 8,7 × 10 4

Beleza?

Espero ter ajudado!

Até a próxima =)

Resposta

8,7 × 10 4

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