Enunciado

Uma onda transversal senoidal é gerada em uma extremidade de uma longa corda horizontal por uma barra que se rnove para cima e para baixo ao longo de uma distância de 1,00   c m . O movimento é contínuo e repetido regularmente 120   vezes por segundo. A corda tem uma massa específica linear de 120   g / m e é mantida sob uma tensão de 90,0   N . Determine o valor máximo (a) da velocidade transversal u e (b) da componente transversal da tensão τ .

(c) Mostre que os dois valores máximos calculados ocorrem para os mesmos valores da fase da onda. Qual o deslocamento transversal y da corda nessas fases? (d) Qual é a taxa máxima de transferência deenergia ao longo da corda? (e) Qual o deslocamento transversal y quando a taxa máxima de transferência de energia ocorre? (1) Qual e a taxa mínima de transferência de energia ao longo da corda? (g) Qual é o deslocamento transversal quando a

taxa de transferência dc energia mínima?

Passo 1

  1. Bora lembrar de umas coisinhas importantes antes de partir pro ataque. Em questões anteriores (e ao longo do estudo da teoria), vimos que o deslocamento vertical de pontos localizados sobre uma onda que executa um movimento harmônico é dado por y ( x , t ) , tal que:

y x , t = y m s e n ( k x - ω t )

Podemos encontrar a velocidade vertical com que esses pontos de deslocam a partir da derivada temporal dessa expressão:

v y x , t = ∂ y ∂ t = - ω y m c o s ( k x - ω t )

Como o valor mínomo do cosseno é - 1 , podemos ver que a velocidade máxima é igual a:

v y , m a x = ω y m

Nesse caso, a onda possui uma freqüência igual a 120   H z , pois ela vibra 120 vezes por segundo, como diz o enunciado. Então, como ω = 2 π f = 2 π × 120 = 754   r a d / s . Além disso, se você acionar seu sentido “Sherlock” aqui mais uma vez vai poder perceber que como a barra se move ao longo de uma distância igual a 1,00 c m , a amplitude da onda deverá ser metade desse valor, 0,50   c m , pois ela é simétrica.

Pronto! Agora temos todas os ingredientes para encontrar v y , m a x , “jogando” na expressão anterior os valores de ω e y m que acabamos de encontrar:

v y , m a x = ω y m = 754 r a d s × 0,50 × 10 - 2 m = 3,77   m / s

Passo 2

(b)Aqui, vamos olhar para um pedacinho da corda, que faz um ângulo igual a θ com o eixo x , como mostra a figura:

Queremos encontrar o valor máximo da componente transversal da tensão τ = 90,0   N , igual a

τ t r a n s v = τ s e n ( θ )

Mas como? Para isso, como τ é consante e igual a 90,0   N , precisamos encontrar o valor máximo de θ , que corresponde a um s e n ( θ ) máximo. Vamos apelidá-lo de θ m á x .

Primeiro, perceba que, como a tensão é tangente à corda, a tangente do ângulo que ela faz com a horizontal é igual ao coeficiente angular da reta tangente à corda, que vale:

tan ⁡ θ = ∂ y ( x , t ) ∂ x = ∂ [ y m s e n ( k x - ω t ) ] ∂ x = y m k c o s ( k x - ω t )

Como o máximo valor que um cosseno pode atingir é 1 , segue que o máximo valor da tangente do ângulo é igual a

tan ⁡ θ m a x = y m k

Estamos bem perto de encontrar θ m a x . Como já sabemos quem é y m , só nos falta encontrar k . Mas o valor dele sai diretamente do fato de que k = ω v = 2 π f λ f = 2 π λ .

A velocidade a gente encontra através da conhecida relação: v = τ μ :

v = 90,0 N 0,120 k g m = 27,4   m / s

Então pronto! Já podemos calcular o tal do k e, consequentemente o querido θ m a x :

v = λ × f = 2 π k × ω 2 π = ω k

k = ω v = 754 r a d s 27,4 m s = 27,5   m - 1

tan ⁡ θ m a x = 27,5 m - 1 5,00 × 10 - 3 m = 0,138

θ m a x ≅ 7,83 °

O último passo agora é encontrar a máxima τ t r a n s v por meio da relação que vimos anteriormente τ t r a n s v = τ s e n ( θ ) :

τ t r a n s v = 90,0 N × s e n θ m a x = 90,0 N × s e n 7,83 ° ≅ 12,3 N

Passo 3

(c)Lembremos, novamente, que a componente transversal da tensão é igual a

τ t r a n s v = τ × s e n ( θ )

Vamos considerar aqui que θ é pequeno o suficiente para que s e n θ = tan ⁡ θ

Nesse caso, a componente transversal da corda que a “puxa” para cima é igual a

τ t r a n s v = - τ × ∂ [ y m s e n ( k x - ω t ) ] ∂ x = - τ × y m k c o s ( k x - ω t )

Note que o valor máximo de τ t r a n s v é alcançado quando c o s k x - ω t = - 1 . Além disso, a velocidade da onda é igual a v y x , t = ∂ y ∂ t = - ω y m c o s ( k x - ω t ) . Olha só, ela também atinge seu valor máximo quando cos ⁡ k x - ω t = - 1 . Isso mostra o que a alternativa (c) nos pede: “os dois valores máximos calculados ocorrem para os mesmos valores da fase da onda”.

Passo 4

(d)Considere agora um ponto localizado sobre a corda, que se desloca de uma distância igual a Δ y . Nesse caso, a tensão exerce um trabalho igual a Δ W = τ t r a n s v × Δ y . Com relação à potêcia, lembra da definição dela? Ela é igual à taxa temporal de geração de trabalho Δ W / Δ t :

P = Δ W Δ t = τ t r a n s v × Δ y Δ t = τ t r a n s v × v y

Uma coisa importante já podemos observar aqui:

A potência atinge seu valor máximo quando τ t r a n s v e v y atingem seus valores máximos! Fomos espertos e já calculamos esses valores nos passos anteriores. Eles valem

τ t r a n s v = 90,0 N × s e n θ m a x = 90,0 N × s e n 7,83 ° ≅ 12,3 N  

v y , m a x = ω y m = 754 r a d s × 0,50 × 10 - 2 m = 3,77   m / s

Então, a potência máxima já nos cai de bandeja aqui:

P m a x = τ t r a n s v × v y , m a x = 12,3 N   × 3,77 m s = 46,4 W

Passo 5

(e)No passo 3 vimos que quando cos ⁡ k x - ω t = - 1 a tensão transversal e a velocidade transversal atingem seus valores máximos. Mas quando cos ⁡ k x - ω t = - 1 , sen ⁡ k x - ω t = 0 . Como y x , t = y m s e n ( k x - ω t ) , então y = 0 nesse caso.

Passo 6

(f)Como vimos no passo 4, P = P o t ê n c i a = τ t r a n s v × v y . Então, quando a tensão e a velocidade transversal são nulas, a potência também é nula.

Passo 7

(g)A taxa de transferência de energia, que vale P = τ t r a n s v × v y é mínima quando a tensão e a velocidade transversais são mínimas, ou seja, quando τ t r a n s v = v y = 0 . Mas isso ocorre quando cos ⁡ k x - ω t = 0 e, consequentemente, sen ⁡ k x - ω t = ± 1 .

Então, como y x , t = y m s e n ( k x - ω t ) , segue que o deslocamento vertical da corda é dado por y = ± y m = ± 0,50   c m .

Resposta

  1. 3,77   m / s
  2. 12,3 N

(d) 46,4 W

(e)   y = 0

(f)0

(g)   y = ± 0,50   c m

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