Enunciado

a) As ondas que se propagam em sentidos contrários na Figura 15.20 se superpõem de tal modo que o deslocamento no ponto O é sempre igual a zero. Para provar matematicamente esse resultado para uma onda de forma arbitrária, considere uma onda se propagando da esquerda para a direita ao longo da corda na Figura 15.20 que no instante T é dada por y 1 x , T = f ( x ) onde f é qualquer função de x . (A forma de f ( x ) determina a forma da onda.) Se o ponto O corresponde ao ponto x = 0 , explique por que no instante T a onda que se move da direita para a esquerda na Figura 15.20 é dada por y 2 x , T = - f ( - x ) .

b) Mostre que a onda obtida pela superposição das duas ondas y x , T = y 1 x , T + y 2 ( x , T ) é sempre igual a zero no ponto O, independentemente da forma da função f ( x ) .

c) As duas ondas que se propagam em sentidos contrários, como indicado no Figura 15.21, superpõem-se de tal modo que a indicação no ponto O é sempre igual a zero. Para provar matematicamente esse resultado para uma onda de forma arbitrária, considere novamente uma onda se propagando da esquerda para a direita na Figura 15.21 que, no instante T, é dada por y 1 x , T = f ( - x ) .

d) Mostre que a onda obtida pela superposição das duas ondas y x , T = y 1 x , T + y 2 ( x , T ) possui sempre inclinação igual a zero no ponto O, independentemente da forma da função f ( x ) , desde que a derivada de primeira ordem dessa função seja finita.

Passo 1

Esse problema parece ser bem complicado mas não, só precisamos respirar e olhar com calma pra entender o que acontece.

Vamos começar analisando o que está acontecendo com a onda.

Nessa imagem temos dois pulsos: um que se propagando para esquerda e está apontando pra cima e o outro pulso com características iguais ao primeiro mas que se propagando para a direita e está apontando para baixo. Quando esses dois pulsos se encontrarem eles vão se cancelar e em seguida vão voltar ao normal continuando a se propagar.

Passo 2

a) Neste primeiro item queremos explicar o por que a onda no instante T que se move da direita para a esquerda é representada por por y 2 x , T = - f ( - x ) .

Isso acontece pois quando a onda chega no final e encontra alguma barreira ela vai se inverter, neste exemplo nosso seria a onda que está apontando para baixo então quando ela inverter irá apontar para cima (invertendo a função da onda), mas esta onda também irá sofrer uma reflexão, ou seja, agora ela irá se mover da esquerda para a direita (passando a ter uma posição - x ).

Tendo tudo isso em mente podemos dizer que a função será - f ( - x ) , pois inverteu a função e a posição do pulso.

Passo 3

b) Queremos verificar o seguinte resultado y x , T = y 1 x , T + y 2 x , T = 0 no ponto O, sabemos que

y 1 x , T = f x , T       e

y 2 x , T = - f ( - x , T )

Independente do valor de f .

Queremos verificar o resultado no ponto O, que é a origem do nosso sistema, logo x = 0 .

Desta forma temos que:

  y x , T = f x , T + - f - x , T

y x , T = f 0 , T - f 0 , T = 0

Passo 4

c) Neste caso o pulso irá atingir um obstáculo e ele será refletido (mudando sua posição - x ) mas diferente da onda do item (a) ele não sofrerá uma inversão, o pulso continuará apontando para a mesma direção, logo sua função continua a mesma.

Desta maneira teremos f ( - x ) .

Passo 5

d) Para mostrar que a onda sempre terá inclinação igual a zero no ponto O, vamos calcular a derivada de y x , T = y 1 x , T + y 2 x , T em relação a x .

Caldulando a derivada:

d y d x = d d x f x + f ( - x )

Lembrando que não sabemos como f varia com x desta maneira podemos utilizar a regra da cadeia para facilitar o calculo da derivada. Desta forma:

d y d x = d f x d x + d f - x d x = d f x d x + d f - x d - x d - x d x = d f d x - d f d x = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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