Enunciado

22. Um ônibus espacial está em uma órbita de 350   k m de altitude. Qual é o período de translação orbital do ônibus, em minutos, e qual é a sua velocidade?

Passo 1

Então galera vamos analisar a nossa situação.

Temos que a nave faz um movimento circular em torno da Terra, logo ela tem uma força resultante igual a força centrípeta (já que o movimento é circular). Temos que a única força que a nave sofre é a força gravitacional causada pela Terra, que é dada por:

F G = G M T m n r n 2

Onde M T é a massa da Terra, m n é a massa da nave e r n é o raio de órbita da nave (raio da Terra + a distância entre a nave e a Terra).

Usando a segunda lei de Newton temos o seguinte:

G M T m n r n 2 = m n v n 2 r n

Onde v n é a velocidade da nave.

Então é só isolar a velocidade v n e calculá-la.

O período de translação da nave que é o tempo que ela leva para nave fazer uma volta completa em torno da Terra. Esse período pode ser encontrado com a seguinte equação:

T = 2 π r n v n

Então precisamos primeiro encontrar a velocidade da nave e depois calculamos o período.

Passo 2

Vamos então encontrar essa velocidade, temos:

G M T m n r n 2 = m n v n 2 r n

Isolando v n , temos:

G M T r n = v n 2

⇒ v n = G M T r n

Lembrando que r n = r T + 350   k m = r T + 0,35 ⋅ 10 6   m .

Os valores de G e M T e r T são dados tabelados, temos o seguinte:

G = 6,67 ⋅ 10 - 11   N ⋅ m 2 / k g 2

M T = 5,98 ⋅ 10 24   k g

r T = 6,37 ⋅ 10 6   m

Substituindo o que sabemos na expressão de v n , temos:

v n = ( 6,67 ⋅ 10 - 11 ) ( 5,98 ⋅ 10 24 ) 6,37 ⋅ 10 6 + 0,35 ⋅ 10 6

= 38,69 ⋅ 10 13   6,72 ⋅ 10 6  

Então temos que:

v n = 7587,78   m / s

Passo 3

Agora vamos calcular o período de translação da nave, temos o seguinte:

T = 2 π r n v n

Substituindo com o que sabemos, temos:

T = 2 π ( 6,72 ⋅ 10 6 ) 7587,78

⇒ T = 5564   s

Obstemos o período em segundos, mas o enunciado pede em minutos, assim temos que:

T = 92,7   m i n

Resposta

v n = 7587,78   m / s

T = 92,7   m i n

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