Enunciado

33. Um objeto de 1,0   k g é abandonado do repouso a 500   k m de altura da Terra.

a . Quanto vale a velocidade de impacto quando ele atinge o solo? Despreze a resistência do ar.

b . Qual seria a velocidade de impacto se a Terra fosse plana?

c . Qual é o erro porcentual cometido no cálculo para a Terra plana?

Passo 1

Então galera para encontrar a velocidade pedida em ( a ) vamos usar a conservação de energia mecânica, onde o momento inicial é o pondo de onde objeto é solto e o momento final é quando o objeto atinge o solo.

K i + U i = K f + U f

Vamos usar a energia potencial dada pela seguinte equação:

U = - G M m r

Para situação inicial temos que r é o raio da Terra mais a altura do satélite e na situação final temos que r é apenas o raio da Terra.

Para o item ( b ) vamos fazer a mesma coisa que para o item ( a ) só que na situação da Terra plana temos que a energia potencial vai ser dada por:

U = m g y

Onde y é a distância entre o objeto e o ponto de energia potencial zero que no caso da Terra plana é o próprio chão.

O item ( c ) quer o erro porcentual que temos usando que a Terra é plana. Para isso basta fazer a diferença entre os valores que encontramos e dividir pelo valor sem a consideração da Terra plana como se esse valor fosse nosso 100   % .

Passo 2

Vamos encontrar o que o item ( a ) pede, temos o seguinte:

K i + U i = K f + U f

⇒ 1 2 m v i 2 - G M m R + h = 1 2 m v f 2 - G M m R

O valor da massa da Terra ( M ) e do raio da Terra ( R ) são dados por:

M = 5,98 ⋅ 10 24   k g

R = 6,37 ⋅ 10 6   m

Agora vamos substituir os valores que conhecemos na expressão que chegamos, temos:

1 2 1 0 2 - 6,67 ⋅ 10 - 11 5,98 ⋅ 10 24 1 6,37 ⋅ 10 6 + 5 ⋅ 10 5 = 1 2 1 v f 2 - 6,67 ⋅ 10 - 11 5,98 ⋅ 10 24 1 6,37 ⋅ 10 6

⇒ - 6,67 ⋅ 10 - 11 5,98 ⋅ 10 24 1 6,37 ⋅ 10 6 + 5 ⋅ 10 5 = 1 2 ( 1 ) v f 2 - 6,67 ⋅ 10 - 11 5,98 ⋅ 10 24 1 6,37 ⋅ 10 6

⇒ 0,5 v f 2 = 6,67 ⋅ 10 - 11 5,98 ⋅ 10 24 1 1 6,37 ⋅ 10 6 - 1 6,37 ⋅ 10 6 + 5 ⋅ 10 5

⇒ v f 2 = 2 6,67 ⋅ 10 - 11 5,98 ⋅ 10 24 1 6,37 ⋅ 10 6 - 1 6,37 ⋅ 10 6 + 5 ⋅ 10 5

⇒ v f 2 = 79,77 ⋅ 10 13 1,142 ⋅ 10 - 8

Então temos que:

v f = 3018,9   m / s

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) fazendo a consideração de que a Terra é plana, assim temos:

K i + U i = K f + U f

⇒ 1 2 m v i 2 + m g y i = 1 2 m v f 2 + m g y f

Lembrando que a velocidade inicial é zero, temos:

m g y i = 1 2 m v f 2 + m g y f

Dividindo tudo por m , temos:

g y i = 1 2 v f 2 + g y f

⇒ 1 2 v f 2 = g ( y i + y f )

⇒ v f = 2 g ( y i + y f )

Sabemos que y i = 500   k m = 5 ⋅ 10 5   m e que y f = 0 . Temos então:

v f = 2 ( 9,8 ) ( 5 ⋅ 10 5 + 0 )

= 98 ⋅ 10 5

Então temos:

v f = 3130,5   m / s

Passo 4

Agora vamos calcular o erro dessa aproximação da Terra pedido em ( c ) , temos:

3130,5 - 3018,9 3018,9

= 0,036

Para porcentagem temos:

3,6   %

Esse é o nosso erro.

Resposta

( a )

v f = 3018,9   m / s

( b )

v f = 3130,5   m / s

( c )

O erro é de 3,6   % .

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