Enunciado

O pacote de onda gaussiano. Uma partícula livre tem como função de onda inicial:

Ψ x , 0 = A e - a x 2

Em que A e a são constantes ( a é real e positivo).

d) Calcule ⟨ x ⟩ , p ,   ⟨ x 2 ⟩ , ⟨ p 2 ⟩ , σ x e σ p . Resposta parcial: p 2 = a ℏ 2 , porém, pode ser necessário o uso de um pouco de álgebra para reduzi-lo à forma simples.

e) O princípio da incerteza se mantém válido? A que tempo t o sistema chega próximo do limite da incerteza?

Passo 1

Para o item d) vamos, mais uma vez, fazer conta pra caramba! Então, sem muito papo, vamos aos cálculos:

O valor esperado de x é dado por:

x = ∫ - ∞ ∞ x Ψ x , t 2 d x

Mas, como vimos no item anterior, a densidade de probabilidade é uma função par. Portanto, o integrando dessa integral é uma função ímpar. Portanto:

x = 0

E, de maneira direta, como já vimos que p está relacionado com a derivada de x , vem que:

p = 0

Passo 2

Vamos calcular agora x 2 :

x 2 = 2 π   ω ∫ - ∞ ∞ x 2 e - 2 ω 2 x 2 d x

Que é uma integral Gaussiana tabelada. Portanto, ficamos com:

x 2 = 1 4 ω 2

Passo 3

Esse é o passo que vai nos pedir mais cuidado. Vamos às contas para determinar p 2 :

p 2 = - ℏ 2 ∫ - ∞ ∞ Ψ * d 2 Ψ d x 2   d x

Vamos escrever a função de onda como: Ψ = A   e - b x 2 para simplificar nossa vida. Assim, vem:

d Ψ d x = - 2 b A   x e - b x 2

Logo:

d 2 Ψ d x 2 = - 2 b A 1 - 2 b x 2 e - b x 2

Portanto, ao multiplicarmos pela função de onda conjugada, ficamos com:

Ψ * d 2 Ψ d x 2 = - 2 b A 2 1 - 2 b x 2 e - b + b * x 2

Como B 2 = 2 / π   ω e b + b * = 2 ω 2 , temos:

Ψ * d 2 Ψ d x 2 = - 2 b 2 π     ω 1 - b x 2 e - 2 ω 2 x 2

O valor esperado de p 2 então toma a forma:

p 2 = 2 b ℏ 2 2 π     ω   ∫ - ∞ ∞ ( 1 - 2 b x 2 ) e ^ - 2 ω 2 x 2 d x

Separando as integrais e resolvendo-as, já que são integrais gaussianas, temos:

p 2 = 2 b ℏ 2 1 - b 2 ω 2

Vamos, por vim, calcular o termo entre os parênteses:

1 - b 2 ω 2 = 1 - a 1 + i θ 1 + θ 2 2 a = 1 + i θ 2

Mas perceba que podemos reescrever esse resultado como:

1 + i θ 2 = a 2 b

Portanto:

b 1 - b 2 ω 2 = a 2

Dessa maneira, o valor esperado do momento quadrático é:

p 2 = a ℏ 2

Passo 4

Para o item e), vamos calcular os desvios padrões:

σ x = x 2   ∴ σ x = 1 2 ω

σ p = p 2 ∴   σ p = a   ℏ 2

Assim, o produto fica:

σ x σ p = ℏ 2 2   1 + 2 ℏ a t m 2 ≥ ℏ 2

Note que a incerteza o produto é mínimo em t = 0 .

Resposta

x = 0

p = 0

x 2 = 1 4 ω 2

p 2 = a ℏ 2

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