Enunciado

Analise os estados ligados com funções de onda ímpar para o poço quadrado finito. Obtenha a equação transcendental para as energias permitidas e resolva-a graficamente. Examine os dois casos-limites. Há sempre um estado ligado ímpar?

Passo 1

Fala aí, tranquilo? Vamos nessa questão seguir a mesma linha do livro para encontrar os estados ligados de funções de onda ímpares. Assim, as soluções são do tipo:

ψ x = F e - k x               x > a D sen ⁡ l x                 0 < x < a - ψ - x             x < 0  

Assim, vamos utilizar duas condições de contorno: a continuidade da função de onda e a continuidade da sua derivada em x = a . Assim, vem:

F e - k a = D sen ⁡ ( l a )

E da derivada, temos:

- k F e - k a = D l   c o s ⁡ ( l a )

Passo 2

Dividindo as duas equações, chegamos em:

- k = l cot ⁡ ( l a )

Fazendo z = l a e z 0 2 = l a 2 + k a 2 , como o livro já fez para funções pares, ficamos com:

z 0 z 2 - 1 = - cot ⁡ ( z )

Essa equação transcendental pode ser analisada graficamente, assim como foi feito para funções pares. Os gráficos são do tipo:

Passo 3

No limite em que z 0 é grande, as intersecções tendem a ocorrer próximos de z n = n π 2 , com n par! Assim, nesse limite temos:

E n + V 0 = n 2 π 2 ℏ 2 2 m 2 a 2

Já para o poço raso, se z 0 < π 2 , não teremos nenhum estado ligado! Ou seja, se tivermos um potencial V 0 dado por:

V 0 < π 2 ℏ 2 8 m a 2

Não teremos nenhum estado ligado relacionado às funções de onda ímpares.

Resposta

E n + V 0 = n 2 π 2 ℏ 2 2 m 2 a 2

Se V 0 < π 2 ℏ 2 8 m a 2   , não teremos nenhum estado ligado relacionado às funções de onda ímpares.

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