Enunciado

Um paraquedista de 80,0 kg salta de um balão a uma altitude de 1000 m e abre seu paraquedas a uma altitude de 200 m. (a) Supondo que a força de resistência total no paraquedista seja constante em 50,0 N com o paraquedas fechado e constante em 3600 N com ele aberto, encontre a velocidade do paraquedista quando pousa no chão. (b) Você acha que ele vai se machucar? Explique. (c) A que altura o paraquedas deveria ser aberto de modo que a velocidade final do paraquedista fosse de 5,00 m/s quando ele chega ao chão? (d) Quão realista é a suposição de que a força de resistência total é constante? Explique.

Passo 1

(a)Gente, na altura de 1000 metros, o paraquedista de 80 kg tem uma determinada energia potencial gravitacional, certo? Considerando g = 9,8   m / s 2 , ela vai valer:

U g = 80,0 ∙ 9,8 ∙ 1000 = 784   000   J

No que ele cai da altura de 1000 metros até a altura de 200 metros, com o paraquedas fechado, ele percorre 800 metros. Nesse percurso, a energia dissipada devido à força de atrito do ar, F a t   1 , vale W a t   1 = F a t   1 ∙ d 1 ,

onde d 1 é o deslocamento de 800 metros e F a t   1 é dada como constante, valendo F a t   1 = 50,0   N . Com isso, a gente tem:

W a t   1 = 50,0 ∙ 800 = 40   000   J

Beleza?

Só que além dessa energia dissipada com o paraquedas fechado, no que ele abre o paraquedas na altura de 200 metros, a força de atrito passa a valer F a t   2 = 3   600   N . Nisso, outro valor de energia, W a t   2 , vai ser dissipado. Dessa vez, sendo d 2 = 200   m , vamos calcular:

W a t   2 = F a t   2 ∙ d 2

W a t   2 = 3   600 ∙ 200 = 720   000   J

Com isso, amores, a gente vai determinar a velocidade do paraquedista ao tocar no solo pelo princípio de conservação de energia.

Ao longo de todo o percurso, a energia potencial gravitacional que ele tinha logo no começo vai virando energia cinética. Porém, como acabamos de calcular, parte dessa energia potencial se perde pelo atrito.

Matematicamente, a gente escreve isso aqui:

U g b a l ã o - W a t   1 - W a t   2 = K ( s o l o )

Aplicando as formulinhas e os dados que a gente já conhece, a gente tem:

784   000 - 40   000 - 720   000 = m ∙ v ( s o l o ) 2 2

Aqui, a gente sabe que m é a massa do paraquedista, que vale 80,0   k g . Com isso, a gente vai ter como única incógnita a velocidade de pouso v ( s o l o ) . Bora calcular?

24   000 = 80,0 ∙ v ( s o l o ) 2 2

4 0,0 ∙ v s o l o 2 = 24   000

v s o l o 2 = 24   000 40,0 = 600

∴ v s o l o = 600 ≅ 24,5   m / s

(b)Gente, essa velocidade convertida pra k m / h vai valer:

24,5   m s ∙ 3,6   k m h m s = 88,2   k m / h

Imagina só você caindo no chão a uma velocidade de um carro em uma via expressa!

Acho que fica claro que esse paraquedista vai direto pro outro plano...

Passo 2

(c)Vamos chamar essa altura de H , que é um valor entre 1000   m (altura do balão) e 0   m (o solo).

É razoável a gente imaginar que H vai ser superior a altura de 200 metros original, em que o paraquedista originalmente abriu o paraquedas, fazendo com que a velocidade de pouso seja menor que a calculada no último Passo, não é?!

Com isso, o que vai mudar no nosso cálculo, aplicando a conservação de energia, vão ser os deslocamentos com o paraquedas fechado e com o paraquedas aberto!

A gente escreveu pra W a t   1 e W a t   2 no último Passo isso aqui:

W a t   1 = F a t   1 ∙ d 1

E

W a t   2 = F a t   2 ∙ d 2

Sendo que d 1 valia 200   m e d 2 valia 800   m , sendo cada deslocamento submetido a uma força de atrito específica e constante, de 50   N e 3   600   N , respectivamente, pro deslocamento de paraquedas fechado e pro deslocamento de paraquedas aberto.

Tudo certo até aqui??

Agora, de modo análogo, a gente vai considerar novos valores pra d 1 e d 2 , sendo eles:

d 1 = 1   000 - H

E

d 2 = H

Certinho?

Com isso, basta a gente aplicar na equação pra conservação de energia que usamos no último Passo, considerando agora que v s o l o = 5,00   m / s .

A gente vai ficar com isso aqui:

U g b a l ã o - W a t   1 - W a t   2 = K ( s o l o )

784   000 - 50 ∙ 1   000 - H - 3   600 ∙ H = 80,0 ∙ 5,00 2 2

E pronto, nossa única incógnica fica sendo H , a altura necessária pra se abrir o paraquedas e cair no solo a apenas 5,00   m / s de velocidade! Bem melhor que cair a quase 90   k m / h , né??

Vamos calcular isso! Ficaremos com:

784   000 - 50   000 + 50   H - 3   600 ∙ H = 4 0,0 ∙ 25,0

Vamos isolar os termos com H do que não tem H :

3   600   H - 50   H = 784   000 - 50   000 - 1   000

Finalmente, a gente vai ter:

3   55 0   H = 7 33   000

∴ H = 733   000 3   550 ≅ 206,5   m

Passo 3

(d)Não é tão realista, uma vez que essa força depende de fatores climáticos, bem como da disposição em que o paraquedista cai. Se ele cai “deitado”, a resistência do ar vai ser maior, se ele cai “em parafuso”, vai ser menor, e nunca vai ter sempre um valor constante a todo momento!

Resposta

(a) v s o l o = 24,5   m / s

(b) Vide Passo 1.

(c) H = 206,5   m

(d) Vide Passo 3.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Jonathan pedala uma bicicleta e chega a um morro de 7,30m de altura. Na base do morro, ele está a 6,00m / s . Quando chega ao topo do morro, ele está viajando a 1,00m / s . Juntos, Jonathan e sua bici
Um engradado de massa de 10,0 kg é puxado por uma inclinação áspera com velocidade escalar inicial de 1,50 m/s. A força para puxar o engradado é 100 N paralela com a inclinação, formando um ângulo de
Um trenó de massa m é chutado em um lago congelado. O chute lhe dá uma velocidade inicial v. O coeficiente de atrito cinético entre o trenó e o gelo é μ k . Use considerações de energia para encontrar
Um corpo de 1,50 kg é mantido 1,20 m acima de uma mola vertical relaxada e sem massa, com uma força constante de 320 N/m. O corpo é jogado em cima da mola. (a) Quanto o corpo comprime a mola? (b) E se