Enunciado

60. Uma partícula de massa m parte de x 0 = 0   m com v 0 > 0   m / s . Ao se mover para a direita sobre o eixo x , a partícula experimenta uma força variável dada por F x = F 0 sen ⁡ ( c x ) , onde F 0 e c são constantes.

a. Qual é a unidade de F 0 ?

b. Qual é a unidade de c ?

c. Em que posição x m á x a força atinge um valor máximo pela primeira vez? Sua resposta deve ser expressa em função das constantes F 0   e c e talvez de outras constantes numéricas.

d. Esboce o gráfico de F x em função de x desde x 0 até x m á x .

e. Qual é a velocidade da partícula ao chegar a x m á x ? Expresse sua resposta em função de m , v 0 , F 0 e c .

Passo 1

Opa! Aqui vamos nós de novo!

a) Olha só! A unidade de força de F 0 é o N e w t o n   ( N ) . F 0 está multiplicado por sen ⁡ ( c x ) .

Qual unidade sen ⁡ ( c x ) nos retorna?

Ora bolas! Sem ⁡ c x é adimensional! Irá nos retornar nada mais nada menos do que uma constante. Ou seja, a unidade de F x também é o N e w t o n   N ...  

F x = F 0 sen ⁡ ( c x )

F x = [ N ]

Passo 2

b) Bora lá pra esse segundo item, agora!

Companheiros e companheiras! O produto c x é um ângulo, afinal de contas estamos tomando o seno dele.

Sabemos também que um ângulo não possui unidades físicas reais.

Se x   tiver unidades de m , o que a gente espera que aconteça e o produto c x estiver sem unidade, então c deve ter uma unidade, né não?

Bem! Essa unidade vai ser... Igualemos c x a um, que é um número qualquer, só pra servir de referência.

c x = 1

Como x tem unidade de m ...

c ⋅ m = 1

c = m - 1

Passo 3

c) Essa letra é moleza!

Repara só!? A força F 0 não varia, né!?

Correto! F 0 é constante! Mas existe uma coisa que varia... O seno de um ângulo varia segundo a relação abaixo...

- 1 ≤ s e n o ≤ 1

Desse modo, o valor máximo para a situação do nosso problema vai acontecer quando sen ⁡ ( c x ) for igual a 1 , já que 1 é o valor máximo para qualquer seno.

Mais especificamente, isso vai se dar mesmo se a seguinte condição abaixo for satisfeita;

c x = π 2

Como queremo o x m á x , então isolemos a variável de posição...

c x m á x = π 2

x m á x = π 2 c

Passo 4

d) E sabendo que nosso gráfico obviamente é senoidal....

E também que existem dois pontos que podemos aproveitar pra fazer o nosso gráfico... Que são:

P o n t o   1 :   E m   x = 0 → F x = F 0 sen ⁡ ( 0 ) = 0

P o n t o   1 = ( 0,0 )

P o n t o   2 :   E m   x = π 2 c → F x = F 0 sen ⁡ c ⋅ π 2 c = F 0  

P o n t o   2 = π 2 c , F 0

Chegamos até a seguinte imagem abaixo...

Passo 5

e) Já no caso da velocidade da bolinha em x m á x ... Para se resolver este item, vamos começar usando a relação que considera o trabalho igual a variação de energia cinética do sistema...

W = K f 2 - K i 2

W = 1 2 m v f 2 - 1 2 m v i 2

Como a velocidade inicial v i é v 0 ...

W = 1 2 m v f 2 - 1 2 m v 0 2

Isolando a velocidade final v f ...

2 W = m v f 2 - m v 0 2

m v f 2 = 2 W + m v 0 2

v f = 2 W + m v 0 2 m

Obtemos uma boa relação, hein!?

Pra ficar melhor ainda, vamos usar a outra relação abaixo, no qual o trabalho é dado como o produto da força pelo diferencial de posição...

W = ∫ F x d x

Bom! A partícula sai da posição inicial x 0 = 0   m para a posição x m á x = π / 2 c qualquer. Sendo assim, nosso limite de integração vai de 0 até π / 2 c ...

W = ∫ 0 π / 2 c F x d x = ∫ 0 π / 2 c F 0 sen ⁡ ( c x ) d x

W = ∫ 0 π / 2 c F x d x = ∫ 0 π / 2 c F 0 sen ⁡ ( c x ) d x

W = ∫ 0 π / 2 c F 0 sen ⁡ ( c x ) d x = - F 0 cos ⁡ c x c 0 π / 2 c

W = - F 0 cos ⁡ c ⋅ π / 2 c c + F 0 cos ⁡ c ⋅ 0 c

W = - F 0 cos ⁡ π / 2 c + F 0 cos ⁡ c ⋅ 0 c

W = F 0 c

Substituindo W na expressão pra v f que descobrimos anteriormente...

v f = 2 W + m v 0 2 m

v f = 2 ⋅ F 0 c + m v 0 2 m

v f = 2 F 0 c m + v 0 2

Finalmente obtemos nossa resposta!

Resposta

a)

F x = [ N ]

b)

c = m - 1

c)

x m á x = π 2 c

d)

e)

v f = 2 F 0 c m + v 0 2

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